数列 - 简书

一、数列

1.定义

按一定次序排列的一列数称为数列.
一般形式: $a_1，a_2，a_3，…，a_n，…，简记为\{a_n\}.$

它可以理解为以正整数集(或它的有限子集)为定义域的函数.
运用函数的观念分析和解决有关数列问题，是一条基本思路.
递推是数列特有的表示法，它更能反映数列的特征.

2.递推公式（通项公式）

$a_n=f(n)$ (第 $n$ 项 $a_n$ 与项数 $n$ 之间的函数关系)

并非每一个数列都可以写出通项公式；有些数列的通项公式也并非是唯一的

3.前n项和

数列的前n项和记为： $S_n=a_1+a_2+a_3+…+a_n$
$\begin{align*} &S_1=a_1\\ &S_2=a_1+a_2\\ &S_3=a_1+a_2+a_3\\ &·\\ &·\\ &·\\ &S_{n-1}=a_1+a_2+…+a_{n-1}\\ &S_n=a_1+a_2+…+a_{n-1}+a_n \end{align*}$
$\begin{align*} 相减可得= \begin{cases} n=1时，a_1=S_1\\ n≥2时，a_n=S_n-S_{n-1}\\ \end{cases} \end{align*}$

4.性质

4.1 $a_n与S_n$ 的关系

已知 $a_n$ ，求 $S_n$
$S_n=a_1+a_2+…+a_n=\sum_{i=1}^{n}{a_i}$

已知 $S_n$ ，求 $a_n$
$a_n= \begin{cases} a_1=S_1 & n=1\\ S_n-S_{n-1} &n≥2\\ \end{cases}$

4.2 片段和

$S_4=a_1+a_2+a_3+a_4$
$a_2+a_3+a_4=S_4-S_{2-1}$

$k<m时，a_k+a_{k+1}+…+a_m=S_m-S_{k-1}$

4.3 裂项相消

$\frac{1}{n·(n+1)} = \frac{n+1-n}{n·(n+1)} = \frac{n+1}{n·(n+1)}-\frac{n}{n·(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$ 重要

$\frac{1}{n·(n+k)} =\frac{1}{k}(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+k})$

$\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}} =\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{n+1-n}= \sqrt{n+1}-\sqrt{n}$

$\frac{1}{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}} =\frac{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}{n+1-n}= \sqrt{n+1}+\sqrt{n}$

$\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+k}} = \frac{1}{k}(\sqrt{n+k}-\sqrt{n})$

$n!=1×2×3×···×n$
$(n+1)!=1×2×3×···×n×(n+1)$
$(n+1)!=n!×(n+1)$

$n·n!=[(n+1)-1]·n! = (n+1)×n! -n! = (n+1)! - n!$ 重要

$\frac{n}{(n+1)!} = \frac{n+1-1}{(n+1)!} = \frac{n+1}{(n+1)!} - \frac{1}{(n+1)!} = \frac{1}{n!} - \frac{1}{(n+1)!}$ 重要

二、等差数列

1.定义

如果在数列 ${a_n}$ 中， $a_{n+1}-a_n=d(常数)（n∈N_+）$ ，则称数列 ${a_n}$ 为等差数列， $d$ 为公差。

差值恒定，为d

等差中项
若三个数 $a，b，c$ 成等差数列，则b 称为a和c的等差中项，即 $a+c=2b$ .

2.通项公式

$a_n=a_1+(n-1)d = a_k+(n-k)d = nd+a_1-d$

若已知两个元素，公差 $d=\frac{a_n-a_m}{n-m}$

函数角度： $a_n=nd+a_1-d$ 与n相关的一次函数

$d>0，a_n单调递增$
$d=0，a_n为常数$
$d<0，a_n单调递减$

与y轴交点 $(0，a_1-d)$

3.前n项和公式

$S_n=\frac{a_1+a_n}{2}·n=na_1+\frac{n(n-1)}{2}d=\frac{d}{2}·n^2+(a_1-\frac{d}{2})n$

该二次函数常数项为0，与y轴无交点（即没有常数项）

d=0时，为一次函数（没有常数项）或者是常数0
d≠0时，为二次函数（没有常数项）

点五计算前n项和
$S_3=a_1+a_2+a_3=3a_2$
$S_5=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=5a_3$
$S_n=na_\frac{n+1}{2}(\frac{n+1}{2}为中项)$

4.相关性质

4.1 脚标和性质

若 $m、n、k、t∈Z^+$ 且 $m+n=k+t$ ，则 $a_m+a_n=a_k+a_t$

4.2 片段和性质

$S_n$ 为等差数列的前n项和，则 $S_n,S_{2n}-S_n,S_{3n}-S_{2n},···$ 仍是等差数列，公差为 $n^2d$

$S_{3n}=3(S_{2n}-S_n)$

4.3 前n项和比值与通项比值的关系

等差数列 $\{a_n\}$ 和 $\{b_n\}$ 的前n项和分别用 $S_n,T_n$ 表示，则 $\frac{a_k}{b_k}=\frac{S_{2k-1}}{T_{2k-1}}$

$\frac{S_n}{T_n}=\frac{a_{\frac{n+1}{2}}}{b_{\frac{n+1}{2}}}$

三、等比数列

1.等比数列定义

如果在数列 $\{a_n\}$ 中， $\frac{a_{n+1}}{a_n}=q(常数)(n∈N_+)$ ，则称数列 $\{a_n\}$ 为等比数列，q为公比.

2.等比数列通项公式

$a_n=a_1q^{n-1}=a_kq^{n-k}=\frac{a_1}{q}q^n$

$\frac{a_n}{a_m}=q^{n-m}$

等比数列中任意一项均不为0，公比q≠0

$a_n=f(n)=\frac{a_1}{q}q^n$ 关于n的非严格意义上的指数函数（底数可以为负数）
$a_n$ 符号及单调性：
$q \begin{cases} \>>0：所有同号 \begin{cases} a_1>0,全正 \begin{cases} q>1：单调递增，如 2，6，18，54，...\\ 0<q<1：单调递减，如 2，\frac{2}{3}，\frac{2}{9}，\frac{2}{27}，...\\ \end{cases} \\ a_1<0,全负 \begin{cases} q>1：单调递减，如 -2，-6，-18，-54，...\\ 0<q<1：单调递增，如 -2，-\frac{2}{3}，-\frac{2}{9}，-\frac{2}{27}，...\\ \end{cases} \\ \end{cases} \\ <0：正负交错（没有单调性） \begin{cases} a_1>0：+-+-+-，如 2，-6，18，-54，...\\ a_1<0：-+-+-+，如 -2，6，-18，54，...\\ \end{cases} \\ \end{cases}$

等比数列中，奇数项同号，偶数项同号，奇偶之间是否同号未知，q>0,奇偶项同号；q<0,奇偶项异号

3.等比数列前n项和公式

$S_n= \begin{cases} na_n&q=1\\ \\ \frac{a_1(1-q^n)}{1-q} = \frac{a_1-a_nq}{1-q}=\frac{a_1-a_{n+1}}{1-q}&q≠1\\ \end{cases}$

函数表达式：
$S_n=f(n)=\frac{a_1}{q-1}·q^n - \frac{a_1}{q-1} = A·q^n-A = A·q^n+B（A+B=0）$

4.等比数列相关性质

若 $m+n=k+t$ ，则 $a_ma_n=a_ka_t$

$a,b,c$ 三者成等比,则 $b$ 为等比中项 → $ac = b^2$

$S_n$ 为等比数列前几项和，则 $S_n, S_{2n}-S_n, S_{3n}-S_{2n},…$ 仍是等比数列，公比为 $q^n$ .

若 $|q|<1且q≠0$ ,则等比数列所有项和为： $S=\lim_{n\to∞}S_n=\frac{a_1}{1-q}$

四、递推公式

1.递推公式

$a_n$ 与 $a_{n+1}$ 或 $a_{n-1}$ 的关系式称为递推公式，若已知数列的递推关系式及首项，可以写出其他项，因此递推公式是确定数列的一种重要方式.

2.递推公式的常用思路

(1) 列举法
一般通过递推公式找到前几个元素数值的规律，来判断后面元素的数值.先列举前面若干项，寻找规律，一般是周期循环的规律.
(2) 累加法（上下抵消）
写出若干项，然后将各项相加.
(3) 累乘法
写出若干项，然后将各项相乘.
(4)构造数列
将某部分看成一个新数列，新数列是符合等差或等比数列，求出新数列后，再求原数列

2.类等差数列

差值为函数表达式： $a_{n+1} - a_n=f(n)$
$n≥2：$
$a_{n} - a_{n-1}=f(n-1)$
$a_{n-1} - a_{n-2}=f(n-2)$
·
·
·
$a_4-a_3 = f(3)$
$a_3-a_2 = f(2)$
$a_2-a_1 = f(1)$
累加可得n≥2：
$a_n-a_1=f(1)+f(2)+···f(n-1)$
$a_n=a_1+f(1)+f(2)+···f(n-1)$

3.类等比数列

比值为函数表达式： $\frac{a_{n+1}}{a_n}=f(n)$

$n≥2：$
$\frac{a_n}{a_{n-1}}=f(n-1)$

$\frac{a_{n-1}}{a_{n-2}}=f(n-2)$
·
·
·
$\frac{a_2}{a_1}=f(1)$

使用累乘可得：
$n≥2：\frac{a_n}{a_1}=f(1)f(2)····f(n-1)$
$n≥2：a_n=a_1f(1)f(2)····f(n-1)$

4.构造等比数列

将某部分看成整体，构造新数列 $\{b_n\}$ ，若新数列满足 $\frac{b_{n+1}}{b_n}=常数，则看成等比数列分析.$
尤其形如 $a_{n+1}=qa_n+d$ 形式的数列，通过拆分常数，变成 $a_{n+1}+c=q(a_n+c)$ 的形式，再构造等比数列求解。其中 $c=\frac{d}{q-1}$