递推数列

1.递推式

数列里，从第二项起，后一项和前有限项之间（设有 $k$ 项）都满足的关系式即递推式。根据递推式和数列的其中 $k-1$ 项即可递推出数列的所有项。

2.简单的递推数列

等差数列和等比数列，就是具有简单的递推关系的递推数列。

1.等差数列的递推式：

$a_{n}- a_{n-1}=d(n\geq 2).$ 或者 $a_{n-1} +a_{n+1} =2a_{n} （n≥2）.$

2.等比数列的递推式：

$\frac{a_{n} }{a_{n-1} } =q(n\geq 2).$ 或者 $a_{n-1} \bullet a_{n+1} =a_{n}^2 （n≥2）.$

3.等差和等比数列的推广

1.形如 $“a_{n+1}= pa_{n}+q”$ 的递推式
方法：待定系数法

即左右同时加 $\frac{q}{p-1}$ ，构造等比数列.

【例1】 $a_{1}$ =1， $a_{n+1}= 2a_{n}+3,求{a_{n} }的通项公式.$

【分析】由递推式计算 $\frac{q}{p-1}$ =3，左右+3即可构造等比数列

【解】由题知 $a_{n+1}+3= 2a_{n}+6$ ，且 $a_{1}+3=4$

$\implies a_{n+1}+3= 2（a_{n}+3）$

即{ ${a_{n}+3}$ }是首项为4，公比为2的等比数列.

∴ $a_{n}+3=4\bullet 2^{n-1}=2^{n+1}$

∴ $a_{n}=2^{n+1}-3$

2.形如 $“a_{n+1}= a_{n}+f(n)”$ 的递推式

方法：累加法

【分析】这类题型主要是转化成求 $f(n)$ 的前n-1项的和，所以可能用到求和的几种方法，可参考我的另一篇数列求和的文章

【例2】在数列{ $a_{n}$ }中， $a_{1}=3， a_{n+1}= a_{n}+\frac{1}{n（n+1）} ,求{a_{n} }的通项公式.$

【解】：由题知： $a_{n}=（a_{n}- a_{n-1}）+（a_{n-1}- a_{n-2}）+\cdot \cdot \cdot +（a_{2}- a_{1}）+a_{1}$

$=\frac{1}{（n-1）n} +\frac{1}{（n-1）（n-2）} +\cdot \cdot \cdot+\frac{1}{1\times 2} +3$

$=1-\frac{1}{2} +\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\cdot \cdot \cdot +\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}+3$

$=4-\frac{1}{n}$ .

【总结】：此例题是用到裂项相消法，若 $f(n)$ 是一次函数（即等差数列），则用等差数列求和公式，是指数函数（即等比数列），则等比数列求和公式，是（等差+等比）则用分组求和方法，是（等差 $\times$ 等比）则错位相减法。

3.形如 $“\frac{a_{n+1} }{a_{n}} =f(n)”$ 的递推式

方法：累乘法

【例3】在数列{ $a_{n}$ }中， $a_{1} =1,\frac{a_{n+1} }{a_{n}} =\frac{n+1}{n} ,求{a_{n} }的通项公式.$

【解】：由题知： $a_{n}=\frac{a_{n} }{a_{n-1}}\cdot \frac{a_{n-1} }{a_{n-2}}\cdot \cdot \cdot \frac{a_{2} }{a_{1}}\cdot a_{1}$

$=\frac{n}{n-1} \cdot \frac{n-1}{n-2}\cdot \cdot \cdot \cdot \frac{2}{1}\cdot 1=n$

4.形如 $“a_{n+1}=p a_{n}+f(n)”，p\neq 1$ 的递推式

方法1：左右同时除以 $p^{n+1}$ ，变形成第2种模型，再用累加法即可

方法2：待定系数法：化简成 $a_{n+1}+\lambda f(n+1) =p （a_{n}+\lambda f(n)）$ ，求出参数 $\lambda$ ，构造等比数列

【总结】优先使用方法2待定系数法来解，计算量会更小

【例4】在数列{ $a_{n}$ }中， $a_{1}=2， a_{n+1}=2 a_{n}+4\cdot 3^{n-1}$ ，求{ $a_{n}$ }的通项公式

【方法一】解：原递推式可化简为 $\frac{ a_{n+1}}{2^{n+1}}=\frac{a_{n}}{2^{n}} +\frac{3^{n-1}}{2^{n-1}}$

令 $b_{n} =\frac{a_{n}}{2^n }$ ，则 $b_{n} =（b_{n} -b_{n-1} ）+（b_{n-1} -b_{n-2} ）+\cdot \cdot \cdot +（b_{2} -b_{1} ）+b_{1}$

$=\frac{3^{n-2}}{2^{n-2}} +\frac{3^{n-3}}{2^{n-3}} +\cdot \cdot \cdot +\frac{1}{1} +1$ $=\frac{（\frac{3}{2} ）^{n-1}-1 }{\frac{3}{2} -1} +1$ $=2\cdot （\frac{3}{2} ）^{n-1}-1$