2018-12-29

On the Universality of the Jordan Center for Estimating the Rumor Source in a Social Network

谣言传播模型

$p_s(v), p_i(v) , p_r(v)$ 分别代表当一个节点目前处于S、I、R状态时下一刻转变为I状态的概率，文章分别总结了在SI,SIR,SIRI模型中此概率的范围，例如，

对于SI模型，网络中每个节点的感染概率相差不大

对于SIRI模型，如果受感染的节点在下一刻保持感染的概率很低，那么一旦该节点恢复，就不太可能再次感染。

文中为了避免边界效应，假设底层图是一棵无限树(何为无限树?)，其中每个节点度数至少为2。 $α = min_{u∈V}p_s(u)，β = max_{u∈V}p_s(u)$

Most Likely Infection Path Source Estimator

$X(u,t)$ 表示时刻t节点u的的状态

$X^t = \{X(u, τ) : u ∈ V, 1 ≤ τ ≤ t\}$ 表示从时刻1到t整个网络的状态集合，它的一个实例便是一个感染路径(Infection Path)

某时刻被观测到的感染节点集合用 $V_i$ 来表示，如果对于某感染路径 $X^t$ 某一时刻的状态 $X(u, τ)$ 的感染节点集合与 $V_i$ 相同，我们便说感染路径 $X^t$ 与观测 $V_i$ 相一致，所有与观测 $V_i$ 一致的可能的感染路径用 $X_s$ 来表示，对应的时刻用 $T_s$ 表示。

考虑以下的目标函数 $\hat s ∈ arg max_{s∈V,t∈T_s,X^t∈X_s} P(X^t = X^t | s^∗ = s)$

$X_t(J, [i, j])$ 表示集合J中的节点从时刻i到j的状态

$P_s(X^t)$ 代表以s为源点某时刻网络状态为 $X^t$ 的概率。

关键定义：乔丹中心性与乔丹中心。一个节点的乔丹中心性表示为它与网络中其他节点距离的最大值。一个网络的乔丹中心指乔丹中心性最小的那个节点。