文章首发于：Panda's Blog

本篇文章将通过Python模拟一个案例来映射散户与庄家之间的博弈

文章

故事引入

有一天，有一个男人坐在酒吧里独自喝酒，遇到一个美女，提议和男人玩一个掷硬币的游戏，两人分别有一枚硬币，两人可以任意决定自己硬币的正反面，然后同时打开自己的硬币给对方看。

游戏规则：

两个硬币都是正面的，男人赚3元

两个硬币都是反面的，男人赚1元

两个硬币不相同面，男人输2元

通过数学方法证明

简单分析

站在男人的角度分析，这场游戏可以简化为以下表格

规则

简单计算一下男人一局游戏的数学期望

$E_{(man)} = \frac{1}{4} \times 3 + \frac{1}{4} \times 1 - \frac{1}{2} \times 2 = 0$

这样看来，貌似这是一个公平的游戏，但是随着游戏进行，男人却发现自己一直在输钱，难道只是因为女人的运气比较好？

仔细分析

设：

男子掷出正面的概率为 x

女子掷出正面的概率为 y

则可得出

男子掷出反面的概率为 1-x

女子掷出反面的概率为 1-y

概率

此时男人一局游戏的数学期望则为

$E_{(man)} = 3xy + (1-x)(1-y) - 2x(1-y) - 2y(1-x)$

若女人能采取某种策略使得E(man)永远小于0，则男人一直输钱

$3xy + (1-x)(1-y) - 2x(1-y) - 2y(1-x) < 0$

合并同类项得到

$y(8x - 3) < 3x -1$

解出这个不等式

1°

当 $(8x - 3) > 0$ 时：
$x > \frac{3}{8}$
∵ $3xy + (1-x)(1-y) - 2x(1-y) - 2y(1-x) < 0$
∴ $y < \frac{3x-1}{8x-3}$
∵ $y < \frac{3x-1}{8x-3}$ 是减函数，且x,y∈[0,1]
∴ 当x取最大值时， $y < \frac{2}{5}$

2°

当 $(8x - 3) < 0$ 时：
$x < \frac{3}{8}$
∵ $3xy + (1-x)(1-y) - 2x(1-y) - 2y(1-x) < 0$
∴ $y > \frac{3x-1}{8x-3}$
∵ $y < \frac{3x-1}{8x-3}$ 是减函数，且x,y∈[0,1]
∴ 当x取最小值时， $y > \frac{1}{3}$

结合1°和2°

当 $\frac{1}{3} < y < \frac{2}{5}$ 时， $E_{(man)} < 0$

所以当女人出正的概率在1/3到2/5之间时，无论男人怎么出，最后都必输无疑

李永乐老师的分析

传送门：BV1zs411779z

通过Python模拟对局证明

源码

import random


class Player:
    def __init__(self):
        # 初始金币
        self.money = 500
        # 默认正面概率
        self.prob_front = 0.5
        # 玩家名
        self.name = ''

    # 选择正反面
    def choose(self):
        if (self.prob_front <= 1) & (self.prob_front >= 0):
            if random.random() < self.prob_front:
                return 'front'
            else:
                return 'back'


class Game:
    def __init__(self):
        # i - 游戏局数
        self.i = 0
        # winner - 赢家
        self.winner = None

    def start(self, player1, player2):
        while True:
            if (player1.money >= 2) & (player2.money >= 3):
                # 游戏开始
                player1Choose = player1.choose()
                player2Choose = player2.choose()

                # 当选择不相同时，player1输钱
                if player1Choose != player2Choose:
                    # player1输2
                    player1.money -= 2
                    player2.money += 2

                # 当选择相同时，player1赚钱
                else:
                    # 同正
                    if (player1Choose == 'front') & (player2Choose == 'front'):
                        # player1赚3
                        player1.money += 3
                        player2.money -= 3
                    # 同反
                    elif (player1Choose == 'back') & (player2Choose == 'back'):
                        # player1赚1
                        player1.money += 1
                        player2.money -= 1
                self.i += 1
                # print(player1.name + ':' + str(player1.money))
                # print(player2.name + ':' + str(player2.money) + '\n')
            else:
                if player1.money < 2:
                    self.winner = player2
                else:
                    self.winner = player1
                return self.i


def main():
    sumOfPlayer1Win = 0
    sumOfGame = 0
    # 游戏迭代次数
    t = 500
    for x in range(t):
        # 玩家1
        player1 = Player()
        player1.name = 'man'
        # 玩家1出正的概率
        player1.prob_front = 0.5
        # 玩家2
        player2 = Player()
        player2.name = 'women'
        # 玩家2出正的概率
        player2.prob_front = 0.5
        g = Game()
        i = g.start(player1, player2)
        winnerObj = g.winner
        winner = winnerObj.name
        print('持续了'+str(i)+'局，赢家是'+str(winner))
        if winnerObj.name == player1.name:
            sumOfPlayer1Win += 1
        sumOfGame += i
    print('统计：\n'+player1.name+'获胜次数'+str(sumOfPlayer1Win))
    print(player2.name + '获胜次数' + str(t-sumOfPlayer1Win))
    print('平均结束局数' + str(sumOfGame/t))


if __name__ == '__main__':
    main()

实现逻辑

游戏开始至 一名玩家的钱不足以开始下一次对局为一次游戏

游戏开始给与两名玩家相同的钱

两名玩家可以设置自己此次游戏的出正概率

1°

当两个玩家都有500元(money)，出正的概率(prob_front)都为0.5时，迭代500(t)次看看结果

money=500,prob_front=0.5,t=500

可以发现，此时游戏看起来似乎是“公平”的，双方输赢都差不多

2°

那么当女人带着策略时（正的概率在1/3到2/5之间）

两个玩家都有500元(money)，女人出正的概率(player2.prob_front)为0.36，男人出正的概率(player1.prob_front)为0.5时，迭代500(t)次看看结果

money=500,player2.prob_front=3.6,t=500

男人输了500次精光

3°

如果男人每次的出正概率都为随机呢？

两个玩家都有500元(money)，女人出正的概率(player2.prob_front)为0.36，男人出正的概率(player1.prob_front)为随机数(random.random())时，迭代500(t)次看看结果

money=500,player1.prob_front=random.random(),player2.prob_front=3.6,t=500

结果并没什么变化

结论

当女人出正的概率在1/3到2/5之间时，无论男人怎么出，最后都必输无疑

映射

如果把

女人比作股市里的庄家，硬币正反面比作打压股价和拉升股价

男人比作股市里的散户，硬币正反比作买多和买空

此时规则可以简化为以下表格

股市规则

表面上貌似有跌有涨，散户是有赚到钱的可能

而事实上庄家可以通过一定的策略，让散户一直亏钱

股市里如何才能稳赚钱

变成庄家

用Python和数学方法证明为啥散户炒股票总赔钱