高中数列之目~基础知识的强化与提高：2019年理数全国卷B题19

2019年理科数学全国卷二题19（12分）

已知数列 \lbrace a_n \rbrace 和 \lbrace b_n \rbrace 满足 a_1=1,b_1=0, 4a_{n+1}=3a_n - b_n +4, 4b_{n+1}=3b_n-a_n-4。

（1）证明： \lbrace a_n + b_n\rbrace 是等比数列， \lbrace a_n - b_n \rbrace 是等差数列；

（2）求 \lbrace a_n\rbrace 和 \lbrace b_n \rbrace 的通项公式.

【解答问题1】

由已知条件得：

4(a_{n+1}+b_{n+1})=2(a_n+b_n),\; \dfrac{a_{n+1}+b_{n+1}}{a_n+b_n}=\dfrac{1}{2}

4(a_{n+1}+b_{n+1})=4(a_n+b_n)+8

(a_{n+1}+b_{n+1})=(a_n+b_n)+2

所以， \lbrace a_n + b_n\rbrace 是等比数列，公比为 \dfrac{1}{2}， \lbrace a_n - b_n \rbrace 是等差数列，公差为2；

【解答问题2】

记 A_n=a_n + b_n, \; B_n=a_n - b_n 则：A_1=1, \; B_1=1

根据第1问的结论可知：A_n=2^{(1-n)},B_n=2n-1

所以，a_n=\dfrac{1}{2}(A_n+B_n)=2^{-n} + n - \dfrac{1}{2}

{b_n=\dfrac{1}{2}(A_n-B_n)=2^{-n}-n+\dfrac{1}{2}}

【提炼与提高】

数列是特殊的函数，函数之间进行四则运算可以构造新的函数。这一方法也适用于数列。

本题中，\lbrace A_n \rbrace 和 \lbrace B_n\rbrace 分别是等比数列和等差数列，\lbrace a_n\rbrace 和 \lbrace b_n \rbrace 是经过加减运算构造而成的数列。

当然，在解题过程中也可以认为：我们由数列 \lbrace a_n \rbrace 和 \lbrace b_n\rbrace 构造出了数列\lbrace A_n \rbrace 和 \lbrace B_n\rbrace .

已知两数的和与差可以方便地求出这两个数。在小学数学中，这样的问题称为和差问题。在初中数学中，这一问题常用作二元一次方程的入门问题。在高中数学中，则用作典型的换元方案。熟悉这一点可以提高解题速度。

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