动态规划之最长公共子序列

字符串问题通常用双指针遍历解决

问题描述

给定两个字符串 text1 和 text2，返回这两个字符串的最长公共子序列的长度。

一个字符串的 子序列 是指这样一个新的字符串：它是由原字符串在不改变字符的相对顺序的情况下删除某些字符（也可以不删除任何字符）后组成的新字符串。
例如，"ace" 是 "abcde" 的子序列，但 "aec" 不是 "abcde" 的子序列。两个字符串的「公共子序列」是这两个字符串所共同拥有的子序列。

若这两个字符串没有公共子序列，则返回 0。

示例

示例 1:

输入：text1 = "abcde", text2 = "ace" 
输出：3  
解释：最长公共子序列是 "ace"，它的长度为 3。
示例 2:

输入：text1 = "abc", text2 = "abc"
输出：3
解释：最长公共子序列是 "abc"，它的长度为 3。
示例 3:

输入：text1 = "abc", text2 = "def"
输出：0
解释：两个字符串没有公共子序列，返回 0。
 

提示:

1 <= text1.length <= 1000
1 <= text2.length <= 1000
输入的字符串只含有小写英文字符。

问题分析

状态：当text1[i] 与text2[j]是否相等。
选择：1.当text1[i]==text2[j]时，i与j同时后移一位继续进行比较；当text2[i]!=text2[j]时，或者i后移或者j后移。
转态转移方程：

if text1[i-1] == text2[j-1]:
  dp[i][j] = dp[i-1][j-1]
else:
  dp[i][j] = max(dp[i-1][j],dp[i][j-1])

-边界条件
当len(text1) == 0时，此时的公共子序列长度为0；当len(text2) == 0时，此时的公共子序列长度为0。
C++实现代码：

class Solution {
public:
    int max(int a, int b){

        if (a > b) return a;
        return b;
    }
    int longestCommonSubsequence(string text1, string text2) {
        int n = text1.size();
        int m = text2.size();
        vector<vector<int>>dp(n+1,vector<int>(m+1));
        
        for (int i=1; i<=n; i++){
            for (int j=1; j<=m; j++){
                if (text1[i-1] == text2[j-1])
                    dp[i][j] = dp[i-1][j-1]+1;
                else
                {
                    dp[i][j] = max(dp[i-1][j],dp[i][j-1]);
                }
            }
        }
        return dp[n][m];

    }
};

时间复杂度： $O(n*m)$ ，空间复杂度： $O(n*m)$