Noether和Halphen继续代数几何方面的工作，他们详细研究了空间代数曲线。任一空间曲线C能够双有理地射影变换为一个平面曲线C1。由C所得的所有这种C1都有相同的亏格，所以C的亏格定义为任一这种C1的亏格，且C的亏格在空间的双有理变换下保持不变。
平面代数曲线的奇点研究受到了极大注意。代数函数理论在1871年以前限于研究有不同的或相离开的二重点（最坏的只是尖点）的那种曲线，对有更复杂奇点的曲线，人们认为可以作为具有二重点的曲线的极限情况处理。但实际的极限步骤是模糊的，且缺乏严密性和统一性。
奇点研究的顶峰是两个著名的变换定理。第一个定理说，每条不可约的平面代数曲线可用一个克雷莫纳变换到一条曲线，它除了有不同切线的重点外别无奇点。第二个定理断言：每条平面不可约代数曲线用只在曲线上双有理的变换，能变换成另一曲线，它只有具不同切线的二重点。曲线化简到这些简单的形式，使代数几何的一套方法容易得到应用。
然而这些定理的许多证明，特别是第二个定理的证明，是不完整的，遭到了数学家的指责。第二个定理实际上有两种情况：射影平面中的实曲线以及复函数论意义下的曲线，x,y各在一个复平面上取值。1871年诺特用一系列在全平面上一对一的二次变换证明了第一定理。一般把证明归功于他，但实际上他只是指出一个证法，许多人加以完善和修改。克罗内克应用分析与代数，建立了一个方法去证明第二定理。 1858年他把方法口头告诉了黎曼和魏尔斯特拉斯，1870年起用在授课中，并在1881年发表。这个方法使用有理变换，借助于所给平面曲线的方程，变换一一对应，把奇异情况变到“正则情况”，即奇点变成有相异切线的二重点，然而克罗内克未叙述该结果，只是隐含在其工作中。
第二定理的大意是：所有多重点用曲线的双有理变换能够化为二重点。1884年Halphen首次明显叙述该定理，并给予证明。曾出现了许多证明，但都没有得到普遍接受。