动态规划
使用场景：重复子问题
步骤：
1、定义公式
2、初始化变量
3、写循环体
给定一个数组 prices ，它的第 i 个元素 prices[i] 表示一支给定股票第 i 天的价格。
你只能选择 某一天 买入这只股票，并选择在 未来的某一个不同的日子 卖出该股票。设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。
返回你可以从这笔交易中获取的最大利润。如果你不能获取任何利润，返回 0 。
输入：[7,1,5,3,6,4]
输出：5
解释：在第 2 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 5 天（股票价格 = 6）的时候卖出，最大利润 = 6-1 = 5 。
注意利润不能是 7-1 = 6, 因为卖出价格需要大于买入价格；同时，你不能在买入前卖出股票。
func stock( _prices : [Int]) -> Int {
let size = prices.count
var dp: [[Int]] = [[Int]](repeating: [Int](repeating:0, count:2), count: size)
/*
step1:推导公式
定义一个二维数组，用来存放当天股票的状态
0表示当天持有股票
1表示当天不持有股票
持有股票的状态有两种情况；1，前一天就持有，保持状态 2，前一天不持有，当天买入
不持有股票的状态有两种情况；1，前一天不持有，保持状态 2，前一天持有，当天卖出
dp[i][0] = max(dp[i-1][0],dp[i-1][i]-prices[i])
dp[i][1] = max(dp[i-1][1], -prices[i])
step2:初始化
第一天持有股票，买入就需要花费，所以：dp[0][0] = -prices[0]
第一天不持有股票，第一天不能卖出，所以：dp[0][1] = 0
step3:写循环体
*/
dp[0][0] =-prices[0]
dp[0][1] =0
for i in 1 ..< size {
dp[i][0] =max(dp[i-1][0],-prices[i])
dp[i][1] =max(dp[i-1][1], dp[i-1][0]+prices[i])
}
return dp[size-1][1]
}
买卖股票的最佳时机2
https://leetcode-cn.com/problems/best-time-to-buy-and-sell-stock-ii/
给定一个数组，它的第 i 个元素是一支给定股票第 i 天的价格。
设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。你可以尽可能地完成更多的交易（多次买卖一支股票）。
注意：你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。
func stock2(_prices:[Int]) ->Int{
/*
step1: 推导公式
//dp[i][0] 表示第i天持有股票，所得现金
/*
1、前一天就持有股票，所得现金为前一天持有股票的所得现金 dp[i-1][0]
2、前一天不持有股票，所得现金为前一天持有股票+今天股票的价格dp[i-1][1]+prices[i]
*/
//dp[i][1] 表示第i天不持有股票，所得现金
/*
1、前一天就持有股票，所得现金为前一天不持有股票的所得现金减今天的股票价格 dp[i-1][1]-prices[i]
2、前一天不持有股票，所得现金为
前一天不持有股票，那么保持现状dp[i-1][1]
前一天持有股票，今天卖出，即：dp[i-1][0]+prices[i]
*/
let size = prices.count
var dp:[[Int]] = [[Int]](repeating: [Int](repeating:0, count:2), count: size)
/*
step2:初始化
*/
dp[0][0] =-prices[0]
dp[0][1] =0
/*
step3:写循环体
*/
for index in 1 ..< size {
dp[index][0] =max(dp[index-1][1]-prices[index], dp[index-1][0])
dp[index][1] =max(dp[index-1][1], dp[index-1][0]+prices[index])
}
return dp[size-1][1]
}
题目链接：https://leetcode-cn.com/problems/best-time-to-buy-and-sell-stock-iv/
给定一个整数数组 prices ，它的第 i 个元素 prices[i]是一支给定的股票在第 i 天的价格。
设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。你最多可以完成 k 笔交易。
注意：你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。
示例 ：
输入：k = 2, prices =[3,2,6,5,0,3]
输出：7
解释：在第 2 天 (股票价格 = 2) 的时候买入，在第 3 天 (股票价格 = 6) 的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 6-2 = 4。随后，在第 5 天 (股票价格 = 0) 的时候买入，在第 6 天 (股票价格 = 3) 的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 3-0 = 3 。
func stock4( _ prices: [Int], _k :Int) -> Int {
/*
因为设计到最多次数k，所以定义一个二维数组，使用j表示当天的状态
比如：k=2，那么就最多有两次买入、两次卖出 还有可能不操作，所以用
0表示不操作 1买入 2卖出 3买入 4卖出，那么当天的状态就有2k+1种；
自然数中：计数为买入，偶数为卖出
所以二维数组的定义如下
*/
letsize = prices.count
letstateSize =2*k+1
vardp: [[Int]] = [[Int]](repeating: [Int](repeating:0, count: stateSize), count: size)
/*
step1:确定递推公式
dp[i][1]表示第i天，买入股票的状态，并不是说一定要在第i天买入股票
第i天买入股票，那么dp[i][1] = dp[i-1][0]-prices[i]
第i天无操作，而是沿用前一天买入的状态 dp[i][1] = dp[i-1][1]
dp[i][2]表示第i天，卖出股票的状态
第i天卖出股票 dp[i][2] = dp[i-1][1]+prices[i]
第i天无操作，而是沿用前一天卖出的状态 dp[i][2] = dp[i-1][2]
所以递推公式如下：
dp[i][j+1] = max(dp[i-1][j+1],dp[i-1][j]-prices[i])
dp[i][j+2] = max(dp[i-1][j+1]+prices[i], dp[i-1][j+2])
*/
/*
step2:初始化
dp[0][1] = -prices[0] //第一次买入，
dp[0][2] = 0 //第一次卖出，卖出操作一定是获取利润，整个股票买卖最差就是没有盈利即全程无操作现金为0
dp[0][3] = -prices[0] //第二次买入，不管怎么样，手头上没有现金，只要买入，现金就应该减少
dp[0][4] = 0 //第二次卖出，卖出操作一定是获取利润，整个股票买卖最差就是没有盈利即全程无操作现金为0
*/
for index in stride(from:1, to: stateSize, by:2) {
dp[0][index] =-prices[0]
}
/*
step3:写循环体
*/
for i in1 ..< size {
for j in stride(from:0, to: stateSize-1, by:2) {
dp[i][j+1] =max(dp[i-1][j+1], dp[i-1][j]-prices[i])
dp[i][j+2] =max(dp[i-1][j+1]+prices[i], dp[i-1][j+2])
}
}
return dp[size-1][2*k]
}
题目链接：https://leetcode-cn.com/problems/best-time-to-buy-and-sell-stock-iii/
给定一个数组，它的第 i 个元素是一支给定的股票在第 i 天的价格。
设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。你最多可以完成 两笔 交易。
注意：你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。
示例 1:
输入：prices =[3,3,5,0,0,3,1,4]
输出：6
解释：在第 4 天（股票价格 = 0）的时候买入，在第 6 天（股票价格 = 3）的时候卖出，这笔交易所能获得利润 = 3-0 = 3 。随后，在第 7 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 8 天 （股票价格 = 4）的时候卖出，这笔交易所能获得利润 = 4-1 = 3。
示例 2：
输入：prices =[1,2,3,4,5]
输出：4
解释：在第 1 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 5 天 （股票价格 = 5）的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 5-1 = 4。注意你不能在第 1 天和第 2 天接连购买股票，之后再将它们卖出。因为这样属于同时参与了多笔交易，你必须在再次购买前出售掉之前的股票。
示例 3：
输入：prices =[7,6,4,3,1]
输出：0
解释：在这个情况下, 没有交易完成, 所以最大利润为0。
示例 4：
输入：prices =[1]
输出：0
提示：
1 <= prices.length <= 10^5
0 <= prices[i] <= 10^5
func stock3(_prices: [Int]) ->Int{
let size = prices.count
var dp: [[Int]] = [[Int]](repeating: [Int](repeating:0, count:5), count: size)
/*
一共有5种状态(无操作0，买入1，卖出2，买入3，卖出4)
0:不做任何操作 dp[i][0] = dp[i-1][0]
1:买入 两种情况前一天无操作今天买入，沿用前一天状态 dp[i][1] = max(dp[i-1][0]-prices[i], dp[i-1][1])
2:卖出 两种情况前一天买入今天卖出，沿用前一天状态 dp[i][2] = max(dp[i-1][1]+prices[i] , dp[i-2][2])
*/
/*
step2:初始化
不做任何操作 dp[0][0] = 0 //无操作
第一次买入：dp[0][1] = -prices[0] //第一次买入
第一次卖出：dp[0][2] = 0 //第一次卖出，卖出操作一定是获取利润，整个股票买卖最差就是没有盈利即全程无操作现金为0
第二次买入：dp[0][3] = -prices[0] //第二次买入，不管怎样，只要买入现金就会减少
第二次卖出：dp[0][4] = 0 //第二次卖出，卖出操作一定是获取利润，整个股票买卖最差就是没有盈利即全程无操作现金为0
*/
for i in stride(from:1, to:5, by:2) {
dp[0][i] =-prices[0]
}
/*
step3:写循环体
*/
for i in 1 ..< size {
for j in stride(from:0, to:4, by:2) {
dp[i][j+1] =max(dp[i-1][j+1], dp[i-1][j]-prices[i])
dp[i][j+2] =max(dp[i-1][j+2], dp[i-1][j+1]+prices[i])
}
}
return dp[size-1][4]
}
题目链接：https://leetcode-cn.com/problems/best-time-to-buy-and-sell-stock-with-cooldown/
给定一个整数数组，其中第 i 个元素代表了第 i 天的股票价格 。
设计一个算法计算出最大利润。
在满足以下约束条件下，你可以尽可能地完成更多的交易（多次买卖一支股票）:
你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。
卖出股票后，你无法在第二天买入股票 (即冷冻期为 1 天)。
示例:
输入: [1,2,3,0,2]
输出: 3
解释: 对应的交易状态为: [买入, 卖出, 冷冻期, 买入, 卖出]
func stock5(_prices: [Int]) ->Int{
letsize = prices.count
//买入，卖出，冷冻期（三种状态）
var dp: [[Int]] = [[Int]](repeating: [Int](repeating:0, count:3), count: size)
/*
step1:确定推到公式
持有：
1、前一天就持有 dp[i][0] = dp[i-1][0]
2、前一天不持有，今天买入 dp[i][0] = dp[i-1][1]-prices[i]
不持有：
1、前一天不持有：dp[i][1] = dp[i-1][1]
2、前一天处于冷冻期：dp[i][1] = dp[i-1][2]
冷冻期：（即获取最大利润）
dp[i][2] = dp[i-1][0] + prices[i]
综合分析推到公式为：
dp[i][0] = max(dp[i-1][0],dp[i-1][1] - prices[i])
dp[i][1] = max(dp[i-1][1] dp[i][1] = dp[i-1][2])
dp[i][2] = dp[i-1][0]+prices[i]
*/
/*
step2:初始化
持有,之前没有股票，所以买入 dp[0][0] = -prices[0]
不持有，还没有买卖，为0
冷冻期，依赖于前一天卖的情况，所以也为0
*/
dp[0][0] =-prices[0] //持有股票
/*
step3:写循环体
*/
for i in 1 ..< size {
dp[i][0] =max(dp[i-1][1]-prices[i], dp[i-1][0])
dp[i][1] =max(dp[i-1][1], dp[i-1][2])
dp[i][2] = dp[i-1][0]+prices[i]
}
return max(dp[size-1][1], dp[size-1][2])
}
题目链接：https://leetcode-cn.com/problems/best-time-to-buy-and-sell-stock-with-transaction-fee/
给定一个整数数组 prices，其中第 i 个元素代表了第 i 天的股票价格 ；非负整数 fee 代表了交易股票的手续费用。
你可以无限次地完成交易，但是你每笔交易都需要付手续费。如果你已经购买了一个股票，在卖出它之前你就不能再继续购买股票了。
返回获得利润的最大值。
注意：这里的一笔交易指买入持有并卖出股票的整个过程，每笔交易你只需要为支付一次手续费。
示例 1:输入: prices = [1, 3, 2, 8, 4, 9], fee = 2
输出: 8
解释:
能够达到的最大利润:
在此处买入 prices[0] = 1
在此处卖出 prices[3] = 8
在此处买入 prices[4] = 4
在此处卖出 prices[5] = 9
总利润: ((8 - 1) - 2) + ((9 - 4) - 2) = 8.
func stock6(_prices:[Int] , _ fee: Int) ->Int{
/*
step1: 推导公式
//dp[i][0] 表示第i天持有股票，所得现金
/*
1、前一天就持有股票，所得现金为前一天持有股票的所得现金 dp[i-1][0]
2、前一天不持有股票，所得现金为前一天持有股票+今天股票的价格dp[i-1][1]+prices[i]
*/
//dp[i][1] 表示第i天不持有股票，所得现金
/*
1、前一天就持有股票，所得现金为前一天不持有股票的所得现金减今天的股票价格 dp[i-1][1]-prices[i]
2、前一天不持有股票，所得现金为
前一天不持有股票，那么保持现状dp[i-1][1]
前一天持有股票，今天卖出，即：dp[i-1][0]+prices[i]-fee
*/
let size = prices.count
var dp:[[Int]] = [[Int]](repeating: [Int](repeating:0, count:2), count: size)
/*
step2:初始化
*/
dp[0][0] =-prices[0]
dp[0][1] =0
/*
step3:写循环体
*/
for index in 1 ..< size {
dp[index][0] =max(dp[index-1][1]-prices[index], dp[index-1][0])
dp[index][1] =max(dp[index-1][1], dp[index-1][0]+prices[index]-fee)
}
return dp[size-1][1]
}
