正交基

一、正交向量组的概念与求法

1、正交的概念

如果向量，

则称两个向量正交，零向量与任何向量正交。

2、正交向量组概念

若一非零向量组中的向量两两正交，则称该向量组为正交向量组。

3、正交向量组的性质

定理1 若n维向量

是一组两两正交的非零向量组则


线性无关。
证明 设有

使得

以

左乘上式两端得

由

从而有

同理可得

故
线性无关。

4、规范正交基

定义了内积的实向量空间

称为n维欧几里得空间（Euclidean space）,在
中，
（1）由单位向量构成的正交组叫做规范正交组（或标准正交组）；
（2）称含有n个向量的规范正交组

为
的一个规范正交基（或标准正交基），即满足

例如

为

的一个规范正交基。

同理

也为

的一个规范正交基。

5 求规范正交基的方法

设
是向量空间V的一个极大无关组，要求V的一个规范正交基，就是找一组两两正交的单位向量

使

与
等价，这样一个问题，称为把
这个极大无关组规范正交化。
（1）正交化，取

那么

两两正交，且与
等价。
（2）单位化，取

那么

为V的一个规范正交基

上述由线性无关向量组
构造出的正交向量组

的过程称为斯密特正交化过程。

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