2018-10-11

离散时间系统的零状态响应
的解法
- 1、经典法:分为通解和特解
- 2、时域卷积和法：类似于连续时间系统中的卷积积分
- 3、变换域法:Z.T.类似于L.T.
- 离散信号的时域分解
  - 选用子信号--单位函数,可以将离散时间信号分解为很多个单位函数之和
    - $e(k) = \sum_{i = -\infty}^{+\infty}e(i)\delta(k - i)$
    - $e(k) = e(k)\ast\delta(k)$
的求解
- 假设线性移不变系统对的响应(单位函数响应)是
  - $\delta(k - i)\to h(h - i)$
  - $e(i)\delta(k - i)\to e(i)h(k- i)$
  - $\sum_{i = -\infty}^{+\infty}e(i)\delta(k- i) \to \sum_{i = -\infty}^{+\infty}e(i)h(k- i)$
  - $r(k) = \sum_{i =-\infty}^{+\infty}e(i)h(k - i) = e(k) \ast h(k)$
- 假设激励信号是一个有始信号
  - $r(k) = e(k) \ast h(k) = \sum_{i = 0}^{+\infty}e(i)h(k - i)$
- 如果系统是一个因果系统,也是一个有始信号
  - $r(k) = e(k)\ast h(k) = \sum_{i =0}^{+k}e(i)h(k -i)$
卷积和
- $a^k\varepsilon (k) \ast b^k \varepsilon(k) = \sum_{i = -\infty}^{+\infty}a^i\varepsilon (i) \ast b^{k - i}\varepsilon (k -i)$
- 数值解法
  - 1、图解法:反摺、平移、相乘、叠加
  - 2、多项式乘法
  - 3、阵列法:个对角线元素相加
- 性质：
  - 移序特性，相当于积分中的微积分特性
  - $x_1(k) \ast x_2(k) = y(k)$
  - $x_1(k +m) \ast x_2(k +n) = y(k +m +n)$
的求解方法
- 1、递推法
- 2、算子法
  - 将高阶系统分解为多个低阶系统之和,解出单位函数响应
  - $H(S) = \frac{b_mS^m +b_{m - 1}S^{m-1} +b_{m -2}S^{m-2} + ... + b_1S +b_0}{S^n +a_{n-1}S^{n-1} +a_{n-2}S^{n-2} +... + a_1S + a_0}$
  - - 无重根
      - $H(S) = \frac{A_1}{S - v_1} +\frac{A_2}{S - v_2} + ... + \frac{A_n}{S - v_n} = H_1(S) + ... + H_n(S)$
    - 有重根,
      - $\frac{A_1}{S - v_1} + \frac{A-1}{(S - v_1)^2} +... +\frac{A-1}{(S - v_1)^l} + \frac{A_{l+ 1}}{S - v_{l + 1 }} +... + \frac{A_n}{S - v_n}$
  - $m = n$ 常除,变成一个常数和真分式之和
  - 非因果系统，不考虑
    - 单位函数响应是一个有始信号
- 如果能得到各个低阶子系统的单位函数响应,将其相加，就可以得到系统的单位函数响应
- 2、系统的单位函数响应
  - 1、一阶离散系统
    - $H(S) = \frac{1}{S -v}$
    - 差分方程
      - $r(k + 1) - v\cdot r(k) = \delta(k)$
    - $r(k) = v^{k-1}\varepsilon(k-1)$
    - $\frac{1}{S-v}\delta(k) = v^{k-1}\varepsilon(k-1)$
    - $\frac{S}{S-v}\delta(k) = v^{k}\varepsilon(k)$
  - $\frac{1}{(S-v)^n}\delta(k) = \frac{(k-1)!}{(n-1)!(k-n)!}v^{k - n}\varepsilon(k-1)$
  - $H(S) = A_0$ 的单位函数响应 $A_0\delta(k)$
- 实际系统中,激励，系统函数都为实数信号或函数,在响应中不可能有虚部
- 3、初始条件法
- 4、系统函数法(ZT)

2018-10-11

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