大师兄的贝叶斯网络学习笔记（十五）：图分割与变量独立（二）

大师兄的贝叶斯网络学习笔记（十四）：图分割与变量独立（二）
大师兄的贝叶斯网络学习笔记（十六）：图分割与变量独立（三）

二、有向分割与条件独立

  • 从一个贝叶斯网络除去一个节点Y即是从中删去Y这个节点、与Y所连的边以及Y的概率分布。
  • 一般来说，从贝叶斯网中除去某个节点，所剩下的不一定是一个贝叶斯网。
  • 比如在Alarm网络中，除去节点B所得到的就不是一个贝叶斯网络。它要成为贝叶斯网络，A的概率分布应该是P(A|E)，但除去B后所剩下的却是P(A|B,E)。
  • 不过，从贝叶斯网络中除去一个叶节点，所剩下的一定还是个贝叶斯网络。
1. 引理1
  • 设N是一个贝叶斯网络，Y是它的一个叶节点，N'是从N中除去Y后得到的贝叶斯网络。
  • 令X为N'中所有节点的集合，那么有P_N(X) = P_{N'}(X)，即X在N中的分布函数和他在N'中的分布函数相同，或者说从N中除去Y不会影响X的分布函数。
  • 证明：P_N(X) = \sum_YP_N(X,Y)=\sum_Y\prod_{X\in X}P(X|\pi(X))P(Y|\pi(Y))=\prod_{X\in X}P(X|\pi(X))\sum_YP(Y|\pi(Y))=\prod_{X\in X}P(X|\pi (X))=P_{N'}(X)
2. 引理2
  • 如果X是贝叶斯网络N的一个祖先闭集，而且在X之外有节点存在，那么在X之外一定存在一个叶结点。
  • 设Y为X之外的一个节点。若Y是叶结点，引理得证。
  • 若否，则Y一定有一个子节点Z。因X是祖先闭集而Y \nin X，必有z\nin X。重复这样的推理，最终一定可以找到一个在X之外的叶节点。
3. 命题3
  • 设X为贝叶斯网络N的一个祖先闭集，N'为从N中除去所有不属于X的节点后得到的贝叶斯网络，那么有P_N(X)=P_{N'}(X)。即X在N中的分布函数与他在N'中的分布函数相同。
  • 若X包含N中所有的节点，命题得证。
  • 否则，根据根据引理2，一定可以找到一个叶结点Y\nin X。记从N中除去Y所得的贝叶斯网络为N_1。
  • 在N_1中，X仍是一个祖先闭集。
  • 因此可以重复以上过程，直到所有不属于X的节点都被出去，最终得到贝叶斯网N'。
  • 在此过程中X的分布函数始终保持变，故P_N(X)=P_{N'}(X)
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