单元函数微积分，直观理解（１）

　　　　　大学生为什么要学习微积分

　　　　　　　徐长发，华中科技大学，

本系列文章仅涉及“单元函数微积分”，多从直观理解的角度去学习微积分，无论是学习的顺序，还是讲解方式，都与传统的教科书不同。

本系列文章可作为初学微积分的辅助读物，无论对理工科、经商科、医农类文科的大学生都是有补益的。

一．为什么大学生都要学习微积分

大家知道，大学生都要学习微积分（高等数学），理工类、经管类、医农类的，就是文科类的大学生也都要学习微积分，这是为什么？

直接的理解是，大学中的很多课程都要用到定量的计算和分析，学好了微积分，在学习其它专业基础课和专业课程时就没有什么困难了。

但有人提出质疑，文科就没有什么课程要用到高等数学的啊，为什么还要学习微积分呢？另外，就说理工科吧，大学中以后的课程的确是要用到微积分的，可是毕业以后的工作中也很少用到微积分知识，为什么还要学那么多的高等数学知识呢？原因究竟如何，且听细细道来。

小学生学习的是简单算术，这是伴随着儿童成长所必备的常识。中学生学习初等数学，学习的是事物内部存在的量与量之间的不变化的关系，是日常生活中经常要用到的，也是青少年正在逐渐懂事阶段所必备的常识。大学阶段要学习的高等数学，它也是学习事物内部的量与量之间的关系，只不过这些量都是变化的，这种变量之间的关系才能够真正反映事物本质，因此，微积分（高等数学）是科技工作者认识事物的常识。

大学生们刚刚进入成人阶段，这个成长期是一身中的最美好的黄金期，精力无限，活力四射；在这个成长期中，要学习做人和做事的本领，学习分析问题和解决问题的能力，要养成良好的习惯，要为走向社会做准备；还要学习“会思考”、“会总结”、“会计算”、“会算计”，学习微积分正好可以训练和提高这方面的能力。

还是有人会质疑，微积分是那么抽象，能够和做人做事的本领联系在一起吗？能够和分析问题、解决问题的能力联系在一起吗？下面我们用微积分中的具体内容来说明问题。

二．微积分内容中到处都是浅显、直观和实用的思想方法

微积分中的内容都是现代科技的常识。

1.微积分中首先学习的是“函数”，函数概念也是一种常识性的思想方法，即在事物之间可以寻找关联性。例如，我们遇到两件事情，如果能够找到它们之间的某种关联，我们就可以利用我们的知识去分析，找到想要的结果。遇到几件事情纠缠在一起怎么办呢，如果能够分析出它们之间的某种关联性，我们就能够理性地分析它们之间的从动变化，做出自己的选择。另外，函数具有抽象归类的功能。因为函数的自变量可以是任何具体的量，也可以是一大类东西，这就相当于我们站在高处看问题，只看一类东西和另一类东西之间关系，看问题的着眼点就会更理性了，视野就会更开阔了。

2.极限在微积分中是一种研究量的变化的手段，其实极限概念也是常识性的思想方法。

例如，要求曲线在定点处的切线，先在小段范围内，在曲线上找一动点，定点和动点作一条割线，割线可以看做是切线的近似，再让动点向定点无限靠近，就由近似过渡到精确的切线了。例如，运动物体在一段时间内的平均速度是近似的，采用极限思想，让这个时间范围缩小，那么近似程度就越来越好了，就可以得到瞬时变化率了。微积分中要学习的导数，就是“采用由近似到精确的思想方法”，这是一种“微细”、精确地“分析”问题的方法，常称为“微分方法”；之所以称其为“导数”，是因为用微分方法分析的结果是“变化率”，具有“导向性”。

定积分也是微积分中的主要学习内容。例如要求一个“平面曲边形”的面积，先将其分解为若干小条形再累积，这是近似面积，利用极限思想，将小条形无限缩小再累积，就得到精确的曲边形面积了。该方法之所以称其为积分方法，是因为由微小累积到精确的缘故。

极限过程在微积分中虽是一种理想的逼近过程，可是在日常生活中，经常会遇到不断接近目标的近似过程，这时极限的思想就变得实用了，人们只要找到一种方法，能够越来越接近目标，不一定非要达到目标不可，只要距离目标的误差在满意和实用的范围内，这个方法就是好方法，这个结果就是好结果。这样的思考，不仅理性，而且很实用。其实，数学中和日常应用中，人们经常采用这一思想方法。

3. 无穷小和无穷大概念也是一种常识性的思想方法。

这和人们认识物质的微观世界类似。大家知道，物质可以被细分下去，大尺度的材料，微米级的材料，纳米级的材料，分子，原子，原子还可以细分为其它粒子，等等。无穷小概念反向理解就是无穷大概念，这和我们认识宏观的宇宙世界类似，天外有天，若干小星系组成星系团，若干星系团又构成大星系，还有巨大星系，等等。

无穷小变量趋于零的速度是不一样的，是有量级区别的，这里的“量级”是一种数学上的“尺度”，这种尺度是用“方次”表示的。其实，现实生活中，“尺度”是一种归类方法，不同尺度需要用不同的观测方法，这是一种看得见摸得着的哲理。例如，体重、身体好坏、素质高低、技术能力都可以作为尺度。就拿工程材料来说，百米大小的材料和一米大小的材料是不同量级的，它们的工程性质就不同。当材料的尺寸小到1-100纳米时，它的性质又会有很多神奇之处，完全不同于平常所见到的材料性质，这就是纳米材料，是一类高新技术材料。

4微分法（导数）是一种常识性方法，其应用非常广泛。

微分法是一种由近似描述变为精确描述的逼近方法，它描述了事物的变化率。这种数学方法具有广泛的代表性。

例如，函数的自变量和因变量之间的关系可以画出曲线，导数可以表现曲线的变化趋势，曲线的弯曲程度等表现。

运动物体关于路程和时间的函数关系也可以画出曲线，于是导数可以表现物体的瞬时速度，还能预测物体的运动趋势和方向。

气流的轨迹也可以画出曲线，利用导数可以预测风的走势，气旋方向，预测是否会出现台风。

工厂产品的销售量和时间的函数关系也可以画出曲线，观察其变化率，就可以分析出市场前景，以至于安排和改变生产任务。

很多经济指标、技术指标、工作指标都可以量化为函数关系，都可以画出函数曲线，可以综合观察这些量化指标，可以分析其变化状态，预测状态的变化趋势。

5.积分方法是一种常识性方法，其应用非常广泛。它生动直观地表现了在累积过程中由近似变为精确的逼近思想和逼近过程。用定积分可以解决很多很多的科技问题，学习解决这些问题的思想方法比计算出的结果更有价值。因为，思想是活的，在思想指导下的应用是无限制的，而计算结果是死的，不一定用手工计算，还可以用计算机计算，没有思想是不可能计算出结果的。

７.数项级数和广义积分。数项级数可以和广义积分紧密地联系在一起，又可以和逼近思想紧密地联系在一起。特别的，正项级数的比较判别法和广义积分的收敛判别联系在一起，从中人们可以看出很多既直观又浅显的思想方法都联系在一起。这种直观、对比、联想的思想方法是可以一辈子反复应用到各个方面的思想方法。

８.幂级数。它是微积分知识在近似计算方面的应用内容。其中有两个思想方法既重要又实用。

级数中的逼近思想方法是非常重要的。直观地看，如果级数收敛，只要增加计算项就可以越来越逼近目标。但是在实际应用中会产生2个问题。第一个问题是，要增加多少计算项才能满足实际的误差需要呢？要解决这个问题，并不需要理论分析，数值在逼近的过程中，数字的重复位数会越来越多，据此就可以判断出计算误差了，还可以做出终止计算的判断。第二个问题是，用什么级数才能有效逼近某函数在A点处的函数值呢？如果级数的展开点远离A点，用这种级数去逼近A处的表现，效果不好；当然，如果就在A点附近展开为级数，这种级数的逼近效果一定好，计算量小，精度高。

９.常微分方程。它可以看着是微积分基本知识的有关应用。当某些复杂的实际问题不能直接确定量与量之间的函数关系时，还可以用它们的导数建立函数关系，这就是微分方程。微分方程是微积分的反向问题。常微分方程，不仅要把众多科技常识综合考虑；而且要把实际问题抽象为常微分方程，这个过程本身就是比函数关系更高一个层次，是一个智慧提升的过程；求解常微分方程也是将微积分反向思考的问题；这些过程都需要灵活的思考和变通方法。要知道，思想方法的锻炼，智慧的提升是软实力。至于怎么求解常微分方程，现在用计算机很快捷，手工计算不重要了。

现代社会中，人们必须懂得一些科技常识。所谓科技常识是指，在日常生活中经常会遇到的一些事物或现象，利用科技常识就可以深刻地理解它和掌握它，没有这些科技常识就会经常犯错误。

当然，有些科技常识用物理知识能说清楚，有些需要用化学知识才能说清楚，有些则需要用数学知识才能说清楚。

例如，一个发声的物体快速迎面驶来，声音的频率会发生怎样的变化？一个发光体快速迎面驶来，光的频率会发生怎样的变化？这就需要物理和数学方面的科技常识。例如，如何测试水的酸碱性？这就需要化学和数学方面的科技常识。例如，高压锅煮牛肉，在蒸汽冒出后，大火或者小火炖60分钟，哪种情形牛肉会更烂一些？这就需要物理和数学方面的常识。我们懂得的科技常识越多，对日常和科技中遇到的问题的判断能力就越强，解决问题的能力也就会越强。

三．数学哲理与做人做事的哲理互通

1.学智慧、学哲理是要用心感悟的，不能无动于衷。就是看一部电影，一本小说都应该有所体会才对。学习数学的过程中，老师讲解是启发同学们感悟，常常把几个概念联系起来思考问题，这也是一种感悟方法。感悟到的东西要把它记下来。数学是一种自然哲学，高数中处处存在着思想方法、智慧和哲理，老师在讲课时讲解了吗，学生在学习中感悟了吗，我们联想了吗。如果在学习中感悟出一些道理，那么我们的理解力、智力、都会得到极大的提升。如果在学习中，不去体会，那么你就会感到数学太抽象，没兴趣，没意思。

2.任何一个高深知识都是由一个浅显的思想产生的，懂得这个浅显的道理，自己才能主动思考。现代科技好像很高深，当你看了科普文章后就会明白，其原理都是同学们在中学里学过的，或者说利用中学知识就可以明白的。有了科普知识，就可以理解和思考更多的问题。高数知识也是如此，前面一节介绍过高数中很多的浅显道理，立足于这个基础，我们就可以思考更难、更高层次的问题了。例如在2维空间中有无穷个向量，只需要2个无关的向量就可以把这无穷个向量构造出来。扩展一步，只需要3个无关的向量就可以构造出3维空间中的无穷个向量。进一步思考，2维空间的本质是2个自由度，2个无关向量就是不平行的向量；那么二阶齐次常微分方程的解也有无穷个，也是2个自由度，找出2个无关的解是不是也可以构造出所有的解呢？这样的思考都是浅显的，但认识问题的层次不同了。

3.学习任何知识都要付出一定的努力，不通过努力就想得到的想法和作风是错误的。现在就有好多年青人，就是想图个轻松愉快，总希望像看电影，看小说，听音乐那样学习就好了，可这是不现实的。年青人应该锻炼自己，克服困难要有决心，做事情要有恒心，具体执行要认真和细心。这种好作风要有2个条件才能获得，一是自身愿意练，而是训练有个过程。做高数学作业，直接的目的是巩固所学的知识，但同时也磨炼你的思维的灵活性，磨炼你的认真和耐心。这种作风方面的训练会影响到今后一辈子。

4.学习数学可以学习到把具体问题抽象归类为数学问题，把数学问题又推广使用到实际问题的思想方法。学习了这种方法，可以让人们在看问题时站得更高，看问题时具有全局观念；思维能力增强，不会纠缠于小事，能从小事中能看到共性的大问题；看问题习惯于看其本质。这种分析思想和方法可以在高数的学习和做题训练中感受到。

5.从数学中可以学到逻辑推理过程。处事不妄下结论，有因才有果，有果必有因，而且在推理分析中始终不偏离主题。

6.在高数的学习过程中，可以训练分析问题和解决问题的能力。处理任何事情，都要分析其原因，找到相应的办法，再认真地解决它。这个过程就和数学的解题过程类似。数学的课时都是比较多的，这么长的时间内，总是提出问题，分析问题，拿出相应的办法，再解决问题，这样的反复训练一定对同学们的逻辑思维方式和逻辑思维能力会产生重大的影响，也就是说，高数学习对同学们今后的思维方式、工作作风和工作能力会产生重大的影响。

7.从高数的学习中，还能学到不少其它的分析方法。例如，归类法、归纳法、对比法、联想法、转换法。这对提高智力有极大的帮助。

8.从高数的学习中，可以提高总结能力，写作能力，办事的条理能力。做事有计划，办事有条理，方法能应变。

总之，学习高数可以培养学生的十个方面的能力：总结归纳能力，演绎推理能力，发现问题分析问题和解决问题的能力，抽象能力，联想能力，学习新知识的能力，创新能力，准确的计算能力，口头和书面表达的能力，灵活运用软件的能力。

现在的问题是，很多同学烦数学，怕数学，为什么？原因是两方面的。

一方面，是教材和教师的问题，他们过多地强调了“抽象思维与训练”，数学的学习过程变得像脱离地面太远的空中楼阁，数学训练仅仅是在“空”对“空”中进行，学生如果稍有脱节，就会觉得跟不上，于是烦数学，怕数学的现象就出现了。这就给教材和教师提出要求，除了数学系以外的微积分教学中，都应该深入浅出地多讲“数学道理”，抽象思维要适度，不能过分；大多数定理都是浅显的数学常识，无需理论上抽象地证明；可以多讲解定理在多方面的含义和多方面应用；多留点时间讲解那些分析问题和解决问题的思维训练，多在启发思考上下功夫；多讲些数学的应用；具体计算过程也不易太难，让学生感到学到了东西为好。如果把数学讲鲜活了，学生对数学的兴趣就会增加。就像学下棋一样，同样是抽象思维训练，有兴趣才能提高学习的积极性。

第二方面的原因是来自同学们自己，部分同学没有认识到学习数学的深远作用，不愿意受“累”，也不愿意做作业，也不愿意记住一些结论，造成学习过程中缺失某些环节，于是学习越来越困难，结果只能是学不好数学。

四．学好高数的关键

1.首先要有“我想学好高数”的要求。内心没有动力，学什么都不可能学得好，内心的动力来源于上进的要求。上进的内容很多，同学们可以根据自己的情况挑选几项，对自己提出目标要求，再努力实现它。年青人都应该有上进心，没有上进心就不会有人生的前途。

2.认真听课。老师的讲解既有书本上的内容，还会有体会、比较和总结这些书本上没有的内容。听好讲课再直接看书，那就会理解得好、体会得深。反之，不听课的损失太大了。

3.认真作业。做作业是巩固所学知识的环节，也是自我训练的环节，应该认真。可是有些同学往往想偷懒，抄一抄交差了事。要知道，数学是顺序渐进的，环环相扣的，如果在这个知识链中缺失了某些环节，高数就没有办法学好了。

4.该记住的要记，该练习的要练，不能缺失环节。学数学就像学外语类似。学外语不记单词不记语法，就无法知道一句语言的含义，无法“外译中”也无法“中译外”。学数学也要理解并记住数学符号的含义，这样才能知道一个数学式子在说什么。要记住定理和公式，没有这些结论就不能进一步的思考和推演。怎样才能记得住这些了？

①数学里所有的知识和公式，都是在理解的基础上记住的，决不能死记硬背。

②要适当笔记来帮助记忆。老师讲的数学公式一般都在教材书中，划上记号。老师讲的一些对公式的理解，有的书上有，也划上记号，书上没有的可笔记在旁边。听课中的一些其它理解，你觉得有用有意思，可以记在页面的顶部。强调一下，笔记不是什么都记，仅仅记下自己要反复记忆的东西。有条件的可以单独用一个笔记本。

③笔记的内容是要反复才能记住的，所以过一两周就要把要记住的内容再反复记忆一遍。

④独立完成作业就是一个反复记忆的过程。

⑤考试前仅仅复习要记忆的内容，记住原理、方法和结论即可，不再需要详细看书了。按照这样的学习方法，小考小玩大考大玩，学数学一定轻松，成绩一定会好，自信心一定会增强。反过来，数学符号的含义都不懂，不知道在说什么和干什么，自然就觉得数学抽象、太难、不想学了。

五. 传统的微积分教材必须改革

数学教材都存在一种传统的通病，非常注重“公理化”、“严格”、“抽象”，少顾或不顾某种数学方法的出处与应用，完全不顾读者的思维方式，始终让人对数学有一种所谓“高深和崇拜”的感觉。

我国传统的微积分教材是上世纪50年代从苏联引进的，传统的毛病不少。虽然高校在文革中曾经发生过几次大规模的关于改革数学教材的讨论，虽然后来不少教师也编写了微积分教材，做了一些改进，但是体系基本上没有变化，没有改掉传统的通病。

其实，微积分中的各类方法，都是来源于实际问题，为什么不能够形象直观地撰写/讲解?

微积分是一种分析问题解决问题的工具，既然是工具，教材和讲解首要任务应该是让学生尽快地“入门”，应该告诉学生，如何使用这种工具，这种工具如何扩展应用，而不是“盲目地打基础搞抽象训练”。如果有些人需要深造，那就另外阅读有关数学分析的书籍为好。