1. 单颗粒在流体中的受力可分为以下三类：

与流体-颗粒相对运动无关的力：惯性力、重力、压力梯度力
与流体-颗粒相对运动相关、力的方向沿相对运动方向：曳力、附加质量力、Basset力
与流体-颗粒相对运动相关、力的方向垂直于相对运动方向：升力、Magnus力、Saffman力
以上受力的牛顿第二定律表达：所有受力相加为零。

2. 逐个描述

下文中，颗粒直径为 $d$ ，密度为 $\rho_p$ ，流体密度为 $\rho_g$ ，流体动力粘度为 $\mu$ ， $u_p,u_g,u_s$ 分别表示颗粒速度，流体速度，滑移速度（流体速度减去颗粒速度）

2.1. 惯性力

当物体加速时，惯性会是物体有保持原有运动状态的倾向，若是以该物体为参照物，看起来仿佛有一股方向相反的力作用在该物体上。
$F=-\frac{1}{6}\pi d^3 \rho_p \frac{du_p}{dt}$
从表达式可以看出，惯性力为 $ma$ ，即其他力的合力

2.2. 曳力

又称阻力，是流体与颗粒发生相对运动时所产生的与运动方向相反的力。
$F=\frac{1}{2}\rho_g u_s^2 A_p C_D=\frac{1}{2}\rho_g u_s^2 \frac{\pi d^2}{4} C_D=\frac{1}{8}\pi d^2 \rho_g u_s^2 C_D$
其中 $C_D$ 为阻力系数。如果流动为“爬流”，则 $C_D$ 有解析解，即斯托克斯定律。

2.2.1. 低速运动时球体曳力的斯托克斯定律

这种“低速”运动还被称为“爬流”，“滞流”，“斯托克斯流”。如图，流体从无穷远处向 $z$ 轴正方向流动，来流速度为 $v_{\infty}$ ，压力 $p_0$

颗粒表面 $A$ 点处的局部面元会受到平行于面元法向的压力以及垂直于面元法向的剪切力即摩擦力。通过计算压力和摩擦力在 $z$ 方向分力沿整个颗粒表面的积分，可以得到颗粒在 $z$ 方向所受的阻力。在球坐标系中，空间点 $B$ 的坐标如图为 $(r,\theta,\phi)$ 。 $\theta$ 为 $B$ 点与原点连线和 $z$ 轴的夹角， $\phi$ 为 $B$ 点在 $xy$ 平面投影与 $x$ 轴的夹角。

stokes_flow.png

对于爬流，球坐标系下空间中任意一点的压力 $p$ 和剪切力为 $\tau$

$p=p_0-\rho gz - \frac{3}{2}\frac{\mu v_{\infty}}{R}\left(\frac{R}{r}\right)^2cos \theta$

$\tau_{r\theta}=\frac{3}{2}\frac{\mu v_{\infty}}{R}\left(\frac{R}{r}\right)^4cos \theta$
以上推导过程见《传递过程原理》流函数章节。压力方程中的笛卡尔坐标与球坐标的转化为 $z=rcos\theta$

将 $p$ 和 $\tau$ 的 $z$ 方向的分力沿整个球面积分。首先计算图中蓝色圆环的面积。设圆环所在的、与 $xy$ 平面平行的圆的半径为 $r_1$ ，球半径为 $R$ ，圆环与 $z$ 轴夹角为 $\theta$ ，圆环上端与下端之间的夹角为 $d\theta$ ，对应的弧长为 $dh=Rd\theta$ ，则圆环（也可以认为是球台）的面积为

$dS=2\pi r_1 dh=2\pi Rsin\theta Rd\theta=2\pi R^2 sin\theta d\theta$

由 $p$ 产生的 $z$ 方向分力积分为

$F_p = \int -pcos\theta dS = \int_0^\pi -pcos\theta 2\pi R^2 sin\theta d\theta \\ = \int_0^\pi (-p_0+\rho_g gRcos\theta +\frac{3}{2}\frac{\mu v_{\infty}}{R}cos\theta) cos\theta 2\pi R^2 sin\theta d\theta \\ = \int_0^\pi (-p_0) cos\theta 2\pi R^2 sin\theta d\theta +\\ \int_0^\pi (\rho_g gRcos\theta) cos\theta 2\pi R^2 sin\theta d\theta +\\ \int_0^\pi (\frac{3}{2}\frac{\mu v_{\infty}}{R}cos\theta) cos\theta 2\pi R^2 sin\theta d\theta \\ =0+\frac{4}{3}\pi R^3 \rho_g g + 2\pi \mu R v_{\infty}$