趣味数学：农场土豆大丰收

农场土豆大丰收

农场迎来了土豆大丰收，每一天卖土豆之前先要分两吨给工作人员。第 1 天卖掉除给工作人员的两吨外剩余的 \dfrac{1}{7}， 第 2 天在第 1 天剩余的基础上，给工作人员两吨后卖掉 \dfrac{1}{7}，按这样的规律一直卖，到第 5 天卖掉给工作人员的两吨后的 \dfrac{1}{7}，剩余 \dfrac{6}{7} 不卖。求农场最少要卖土豆多少吨?
（起初和每次卖掉的土豆数都为整数吨）

【解】

依题意可知，每天晚上剩余的土豆吨数有以下特征：是 6 的倍数，除以 7 的余数等于 2；

6=0\times7+6,

12=1\times7+5,

18=2\times7+4,

24=3\times7+3,

30=4\times7+2,

由此可见：每天晚上剩余的土豆为：30+42n.

假如某一天晚上的土豆为 30+42n， 则这一天所售出的土豆为 5+7n,

前一天晚上的土豆为 49n+37,

前一天的土豆可表示为 30+42m

所以 49n+37=30+42m

n+1=6(m-n)

m=n+\dfrac{1}{6}(n+1)

以 A_i 表示第1天至第5天开始时的土豆量；以 B_i 表示售出土豆的数量；

根据以上分析可知：A_1=30+42N_1

\cdots

A_5=30+42N_5

N_1,\cdots,N_5 满足以上递推公式，

因为每天售出的土豆数量和剩余的土豆数量是整数，所以可设

N_5=6^z\times k -1， 根据以上递推公式可得：

N_4=7\times6^{z-1}\times k-1,

N_3=7^2\times6^{z-2}\times k-1,

N_2=7^3\times6^{z-3}\times k-1,

N_1=7^4\times6^{z-4}\times k-1,

每一天开始时的土豆数量可表示为：A_i=6^r\times7^t -12

其中，第2至5天的土豆数量是 6 的倍数，但第1天的土豆数量不必是6的倍数，所以，为了求最小值，应有：

r=0, t=5,

A_1=7^5-12, B_1=7^4-2,

A_2=6\times7^4-12, B_2=6\times7^3-2,

A_3=6^2\times7^3-12, B_3=6^2\times7^2-2,

A_4=6^3\times7^2-12, B_4=6^3\times7-2,

A_5=6^4\times7^1-12, B_5=6^4-2,

B_1+B_2+B_3+B_4+B_5

=7^4+6\times7^3+6^2\times7^2+6^3\times7^1+6^4-2\times 5

=7^5-6^5-10

结论：农场售出土豆的吨数最小有 =7^5-6^5-10 吨.

【提炼与提高】

本题涉及以下知识：

（1）整除和余数；

（2）数列的递推公式；

（3）等比数列求和公式；

以上解法算是通解。如果对于整数的整除非常熟悉，根据12与14的差等于2这一点，猜出每日余额的通项公式，也是可以的。

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