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UnderstandingtheProblem

First,Ineedtounderstandtheproblemstatementclearly.Itsays:

u003eProblem:Let(G)beagroup.Asubgroup(H)of(G)iscalledacharacteristicsubgroupif(phi(H)subseteqH)forallautomorphisms(phi)of(G).Provethateverycharacteristicsubgroupisnormalin(G).

BreakingItDown

1.CharacteristicSubgroupDefinition:Asubgroup(H)of(G)ischaracteristicifeveryautomorphism(phi)of(G)maps(H)intoitself,i.e.,(phi(H)subseteqH).

2.NormalSubgroupDefinition:Asubgroup(H)of(G)isnormalifforevery(ginG),(gHg^{-1}subseteqH).

Thegoalistoshowthatif(H)ischaracteristic,thenitmustbenormal.

InitialThoughts

Toprovethat(H)isnormal,Ineedtoshowthat(H)isinvariantunderconjugationbyanyelement(ginG).

But,thecharacteristicpropertygivesmeinvarianceunderallautomorphismsof(G).Conjugationbyanelement(g)isaspecifickindofautomorphism—aninnerautomorphism.

Step1:UnderstandingInnerAutomorphisms

Aninnerautomorphismof(G)isanautomorphism(phi_g)definedby:

[phi_g(x)=gxg^{-1}]

forsomefixed(ginG).

Keypoints:

-Innerautomorphismsareindeedautomorphismsbecause:

1.Homomorphism:(phi_g(xy)=gxyg^{-1}=gxg^{-1}gyg^{-1}=phi_g(x)phi_g(y)).

2.Bijective:It'sinvertible,withinverse(phi_{g^{-1}}).

Step2:ApplyingtheCharacteristicPropertytoInnerAutomorphisms

Giventhat(H)ischaracteristic,itmustsatisfy(phi(H)subseteqH)forallautomorphisms(phi)of(G).

Sinceinnerautomorphismsareasubsetofallautomorphisms,forany(ginG),theinnerautomorphism(phi_g)mustsatisfy:

[phi_g(H)subseteqH]

But(phi_g(H)=gHg^{-1}).So,wehave:

[gHg^{-1}subseteqH]

Step3:VerifyingNormalityCondition

Thecondition(gHg^{-1}subseteqH)forall(ginG)ispreciselytheconditionfor(H)tobeanormalsubgroupof(G).

Conclusion

Therefore,since(H)isinvariantunderallinnerautomorphismsof(G),itmustbenormal.

FinalAnswer

boxed{

begin{proof}

Let(H)beacharacteristicsubgroupof(G).Bydefinition,foreveryautomorphism(phi)of(G),wehave(phi(H)subseteqH).

Considertheinnerautomorphism(phi_g)forany(ginG),definedby(phi_g(x)=gxg^{-1}).Since(phi_g)isanautomorphismof(G),thecharacteristicpropertyimpliesthat(phi_g(H)subseteqH),whichmeans(gHg^{-1}subseteqH).

Since(g)wasarbitrary,thisholdsforall(ginG),provingthat(H)isanormalsubgroupof(G).

end{proof}

}