立体几何之目：2007年理科数学海南卷题18

2007年理科数学海南卷题18

18.（本小题满分12 分）

如图，在三棱锥 S-ABC 中，侧面 SAB 与侧面 SAC 均为等边三角形，\angle BAC=90°，O 为 BC 的中点.

（Ⅰ）证明∶SO \perp 平面 ABC;

（Ⅱ）求二面角 A-SC-B 的余弦值.

2007年理科数学海南卷题18

【解答第1问】

连接 OA.

∵ \angle BAC=90°,OB=OC， ∴ OA=OB=OC.

∵ \triangle SAB 与 \triangle SAC 均为等边三角形，∴ \triangle ABC,\triangle SBC 是等腰三角形;

而 OB=OC, ∴ SO \perp BC, AO \perp BC

∵ \angle AOB=\angle SOB=90°, BA=BS, OB=OB, ∴ Rt\triangle AOB \cong Rt\triangle SOB

∴ OA=OS

又∵ OA=OB, AB=AS, ∴ \triangle OSA \cong OAB , ∴ \angle SOA = 90°

∵ SO \perp OA, SO \perp OB, ∴ SO \perp 平面 ABC;

【解答第2问】

∵ SO \perp OA, OA \perp OB, ∴ OA \perp 平面 SBC.

\triangle SCA 在平面 SCB 内的投影为 \triangle SCO

SC=SA=AC=\sqrt{2}OC

S_{\triangle SAC} = \dfrac{\sqrt{3}}{2} |OC|^2

S_{\triangle SOC}=\dfrac{1}{2}|OC|^2

∴ 二面角 A-SC-B 的余弦值为：\dfrac{S_{\triangle SOC}}{S_{\triangle SAC}}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}

【提炼与提高】

求二面角可以用几何法，也可以用向量法。

用几何法解答本题，简洁明了效率高。如果用向量法也是可以的，但计算量比较大。读者可以自行对比。

注意本题中的三角形。

等边三角形： \triangle SAB , \triangle SAC

等腰直角三角形：\triangle OAB, \triangle OAC, \triangle OSB, \triangle OSC, \triangle OSA

由一个等边三角形和三个等腰直角三角形构成的四面体，是一个常用模型。在本题中，B-SOA,C-SOA 都是这样的四面体。

这一常用四面体在高考题中多次出现。一定要高度重视。

第1问的解答中，是把立体几何的知识与平面几何结合起来；把空间问题转化为平面上的问题来解决。这也是立体几何中一种基本的方法。

【相关考题】

本题与以下考题是“姊妹题”。请读者自行体会。

2009年文科数学海南卷题18

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