图信号处理室离散信息处理理论在图信号领域应用，通过对傅里叶变换、滤波等信号处理基本概念的迁移研究对图信号的压缩、变换、重构等信号处理的基础任务。

一、图信号与图的拉普拉斯矩阵

给定图G=(V,E)，V表示图中节点集合,图信号是一种描述V->R的映射，表示成向量形成x=[x1,x2,..Xn]T，xi表示节点vi上的信号强度。

与离散信号不同，图信号是定在节点上的信号，节点与节点之间固有关联结构。
拉普拉斯矩阵是用来研究图结构性质的核心对象，定义如下L=D-A。A是邻接矩阵，是否与邻居相连，自相连为0，不是邻居的为0。D是一个对角矩阵，表示节点的度，如果i=j则为度，如果ij属于边为-1，否则为0。正则化表示为 ，如果i=j为1， 属于边为 ,否则为0。

拉普拉斯算子是n维欧式空间中的一个二阶算子，如果将算子退化到离散二维图像空间，变成了边缘检测算子。拉普拉斯算子描述与中心像素与局部上下左右四邻居像素的差异，这个性质可以用作图像上边缘检测算子。在图信号中，拉普拉斯算子也被用来描述中心节点与邻居节点之间的信号差异。定义非常重要的二次型，，图信号的总变差，标量将各条边上新信号的差值进行嘉禾，刻画了图信号整体上的平滑度。

二、图的傅里叶变换

傅里叶变换是数据信号处理的基石，将信号从时域空间转换到频域空间，频域视角给信号处理带来了极大的便利，围绕傅里叶变换，信号的滤波、压缩、卷积等操作都有了完备的理论定义，为一些实际的工程应用，如信号去躁、压缩、重构等任务提供了理论指导。
假设图G的拉普拉斯矩阵
,由于L是一个实对称矩阵，根据实对称矩阵都可以被正交化，可得 ,V是一个正交矩阵，特征向量为彼此之间线性无关的单位向量。表示第k个特征向量对应的特征值，对特征值进行降序排列
。

对于给定的向量x,拉普拉斯的二次型，拉普拉斯是一个半正定矩阵，其所有的特征值都大于等于0，且存在上限

图傅里叶变换对于任意一个在图G上的信号x,图傅里叶变换为

特征向量为傅里叶基，是x在第k个傅里叶基上的傅里叶系数，傅里叶基系数本质上是图信号在傅里叶基上的投影，衡量了图信号与傅里叶基之间的相似度，V是正交矩阵，矩阵形式为,左式乘V，则

于是我们可以用矩阵形式逆傅里叶变换，从线性代数角度，V组成了完备基向量，图G上任意一个图信号可以被表征为这些基向量的线性加权。

特征值等价为频率，特征值越低，频率越低，对应的傅里叶变化越缓慢，相似节点上的信号值趋于一致；特征值越高，频率越高，对应傅里叶变化得越剧烈，相近节点上的信号值高度不一致。

定义好图傅里叶变换后，从频域视角去研究图信号，图信号所有的傅里叶系数合在一起称为该信号的频谱。在一个给定的图中，图信号的频谱等价于一种身份，运用逆傅里叶变换，完整推导出空域中的图信号。