费米能级和载流子的统计分布

1 费米分布函数

根据量子统计理论，服从泡利不相容原理的电子遵循费米统计率。对于一个能量为E的一个量子态被一个电子占据的概率为
$\begin{equation*} f(E)=\frac{1}{1+exp(\frac{E-E_F}{k_0T})}\tag{1} \end{equation*}$
f(E)称为电子的费米分布函数。式子中的 $E_F$ 称为费米能级或费米能量，它和温度、半导体材料的导电类型、杂质含量以及能量零点的选取有关。它可以由半导体中能带内所有量子态中被电子占据的量子态数应该等于电子总数来决定，即
$\begin{equation*} \sum_if(E_i)=N\tag{2} \end{equation*}$
由统计理论证明，费米能级 $E_F$ 是系统的化学势，即
$\begin{equation*} E_F=\mu=(\frac{\partial F}{\partial N})_T\tag{3} \end{equation*}$
式子中， $\mu$ 代表系统的化学势，F是系统的自由能。上式的意义是：当系统处于热平衡状态，也不对外作功的情况下，系统增加一个电子所引起系统自由能的变化等于系统的化学势，处于热平衡的系统由统一的化学势，因此费米能级是统一的。

当T>0K时，
$\begin{equation*} if\quad E<E_F,then\quad f(E)>\frac{1}{2}\\ if\quad E=E_F,then\quad f(E)=\frac{1}{2}\\ if\quad E>E_F,then\quad f(E)<\frac{1}{2}\\ \end{equation*} \tag{4}$
上述结果说明，系统温度一定的情况下，如果量子态的能量比费米能级低，则概率大；反之则小。在温度为0K时电子全部分布在费米能级以下的量子态；温度不是很高时大于费米能级的量子态几乎没有电子分布。

2 玻尔兹曼分布函数

如果我们让 $E-E_F>>k_0T$ ，那么会有
$\begin{equation*} 1+exp(\frac{E-E_F}{k_0T})\approx exp(\frac{E-E_F}{k_0T}) \end{equation*}$
这时候，令 $A=exp\frac{E_F}{k_0T}$ ，则我们有
$\begin{equation*} f_B(E)=Aexp(-\frac{E_0}{k_0T})\tag{5} \end{equation*}$
这就是玻尔兹曼分布函数，在电子能量远大于费米能级的时候，费米分布近似为玻尔兹曼分布。对于空穴， $1-f(E)$ 就是空穴的分布函数，类似的有
$\begin{align*}\tag{6} &f(p)=\frac{1}{1+exp(\frac {E_F-E}{k_0T})}\\ &let\quad B=exp(\frac{E}{k_0T})\\ &and\quad if\quad E_F-E<<k_0T\\ &f(p)=Bexp(\frac {E}{k_0T}) \end{align*}$
这里表示的与电子相反，费米能级以上空穴分布多，以下分布少。

在半导体中最常遇到的是费米能级位于禁带内，故价带空穴、导带电子满足近似条件，可以用玻尔兹曼分布来计算它们的统计分布。

通常把服从玻尔兹曼统计律的电子系统称为非简并性系统，服从费米统计律的电子系统称为简并性系统。

3 导带中的电子浓度和价带中的空穴浓度

这里首先利用推导出来的式子：
$\begin{align*} &g_c(E)=\frac{V}{2\pi^2}\frac{{2m^*_n}^\frac{3}{2}}{\hbar^3}(E-E_c)^{\frac{1}{2}}\tag{7}\\ &g_v(E)=\frac{V}{2\pi^2}\frac{{2m^*_p}^\frac{3}{2}}{\hbar^3}(E_v-E)^{\frac{1}{2}}\tag{8} \end{align*}$
这里分别表示表示电子和空穴导带底/价带顶附近的状态密度。利用:

$dN_n=f_B(E)g_c(E)dE\quad dN_n=f_p(E)g_v(E)dE\tag{9}$

以及近似条件可得V内电子浓度 $n_0$ ，空穴浓度 $p_0$ 为
$\begin{align*} &n_0=N_cexp(-\frac {E_c-E_F}{k_0T})\tag{10}\\ &p_0=N_vexp(-\frac{E_v-E_F}{k_0T})\tag{11}\\ here \quad &N_c=2(\frac{m^*_nk_0T}{2\pi\hbar^2})^\frac{3}{2}\\ &N_p=2(\frac{m^*_pk_0T}{2\pi\hbar^2})^\frac{3}{2} \end{align*}$
这里 $N_c$ ， $N_v$ 分别称为导带的有效状态密度和价带有效状态密度。

4 载流子浓度乘积 $n_0n_p$

相乘后得到 $n_0n_p$ 的表达式为：
$\begin{align*}\tag{12} &n_0p_0=N_cN_vexp(\frac{E_g}{k_0T})\\ here \quad &E_g=E_c-E_v \end{align*}$
可见，电子和空穴的浓度乘积和费米能级无关，对于一定的半导体材料，乘积只取决于温度T，与所含杂质无关。且在一定温度下，达到热平衡后乘积保持恒定。

5 应用一：本征半导体的载流子浓度

本征半导体无杂质，因此电子和空穴成对出现。根据空穴浓度等于电子浓度有：
$\begin{align*} &n_i=p_0=n_0=(N_cN_v)^{\frac{1}{2}}exp(-\frac{E_g}{2k_0T})\tag{12}\\ &E_i=E_F=\frac{E_c+E_v}{2}+\frac{3k_0T}{4}\ln{\frac{m^*_p}{m^*_n}}\tag{13} \end{align*}$
其中 $E_i$ 为本征半导体的费米能级。

一般温度下 $n_i$ 不是特别的大，但结合上边式子，我们可以看出，随着温度的升高， $n_i$ 会迅速增大。因此半导体对温度的敏感性很高。在实际中，半导体会有一个极限工作温度，超过这个温度会使得器件失效。一般杂质浓度高、带隙大的半导体极限温度会高。

6 应用二（1）：杂质半导体的载流子浓度初步

首先杂质能级与能带中的能级有区别，施主杂质能级只能是：1、被一个有任意自旋的电子占据；2、不接受电子。施主能级不允许同时被自旋方向相反的两个电子所占据，所以不能套用玻色分布来表征统计分布。可以推导出的式子如下：
$\begin{align*} f_D(E)=\frac{1}{1+\frac{1}{g_D}exp(\frac{E_D-E_F}{k_0T})}\tag{14}\\ f_A(E)=\frac{1}{1+\frac{1}{g_A}exp(\frac{E_F-E_A}{k_0T})}\tag{15} \end{align*}$
$g_D$ 是施主杂质的基态简并度， $g_A$ 是受主能级的基态简并度，通常称为简并因子。

下边是分析杂质半导体时的一些参量：
$\begin{align*} &n_D=N_Df_D(E)\tag{16}\\ &p_A=N_Af_A(E)\tag{17}\\ &n^+_D=N_D-n_D\tag{18}\\ &p^-_A=N_A-p_A\tag{19}\\ &n_D表示施主能级上的电子浓度，p_A表示受主能级上的空穴浓度。\\ &n^+表示电离施主浓度，p^-_A表示电离受主浓度。\\ &而N_D，N_A分别表示施主杂质浓度和受主杂质浓度 \end{align*}$

7 应用二（2）：n型半导体和p型的载流子浓度

分析基础：
$\begin{align*} n_0=n^+_D+p_0\\ p_0=p^-_A+n_0 \end{align*}$

1 n型半导体

（1）低温弱电离区：大部分施主杂质仍为电子占据，只有很少的施主杂质发生电离，少数施主杂质进入导带。但这个时候仍然是施主杂质提供的导带电子更多，因此本征激发的那部分可以忽略。有
$\begin{align*} &E_F=\frac{E_c+E_D}{2}+(\frac{k_0T}{2})\ln(\frac{N_D}{g_DN_c})\tag{20}\\ &n_0=(\frac{N_DN_c}{g_D})^{\frac{1}{2}}exp(-\frac{\Delta E_D}{2k_0T})\tag{21}\\ here\quad &\Delta E_D=E_c-E_D(施主杂质电离能) \end{align*}$
（2）强电离区（饱和区）：大部分杂质都几乎电离，即 $n_0\approx N_D$ ，此时， $E_D-E_F>>k_0T$ 。所以这时候有：
$\begin{align*} &E_F=E_c+k_0T\ln (\frac{N_D}{N_c})\tag{22}\\ &n_0=N_D\tag{23}\\ &n_D\approx D_-N_D\tag{24}\\ &D_-=(\frac{g_DN_D}{N_c})exp(\frac{\Delta E_D}{k_0T})\tag{25} \end{align*}$
注意，严格来说，室温下，杂质浓度比本征载流子浓度大一个数量级以上才能认为保持以杂质电离为主的情况。

（3）过渡区
$\begin{align*} &E_F=E_i+k_0Tarcsh(\frac{N_D}{2n_i})\tag{26}\\ &n_0=\frac{N_D+(N_D^2+4n_i^2)^{\frac{1}{2}}}{2}\tag{27}\\ &p_0=\frac{n_i^2}{n_0}\tag{28} \end{align*}$

（4）高温本征激发区：此时本征激发的载流子数远多于杂质电离产生的载流子数。杂质浓度越高这个温度也越高。

2 p型半导体

（1）低温弱电离区：
$\begin{align*} &E_F=\frac{E_v+E_A}{2}-(\frac{k_0T}{2})\ln(\frac{N_D}{g_AN_c})\tag{29}\\ &p_0=(\frac{N_AN_v}{g_A})^{\frac{1}{2}}exp(-\frac{\Delta E_A}{2k_0T})\tag{30}\\ here\quad &\Delta E_A=E_A-E_v(受主杂质电离能) \end{align*}$
（2）强电离区（饱和区）
$\begin{align*} &E_F=E_v-k_0T\ln (\frac{N_A}{N_v})\tag{31}\\ &p_0=N_A\tag{32}\\ &p_D\approx D_+N_A\tag{33}\\ &D_+=(\frac{g_AN_A}{N_v})exp(\frac{\Delta E_A}{k_0T})\tag{34} \end{align*}$

（3）过渡区
$\begin{align*} &E_F=E_i-k_0Tarcsh(\frac{N_A}{2n_i})\tag{35}\\ &n_0=\frac{N_A+(N_A^2+4n_i^2)^{\frac{1}{2}}}{2}\tag{36}\\ &p_0=\frac{n_i^2}{n_0}\tag{37} \end{align*}$

3 讨论

随着温度升高，n型半导体的费米能级从靠近施主杂质能级不断下移到禁带中线处；p型半导体的费米能级从靠近受主杂质能级不断上移到禁带中线处。而载流子则从以受主电离为主转化到以本征激发为主要来源。当温度一定，费米能级的位置有杂质浓度决定。这说明杂质半导体中，费米能级的位置不仅反映了半导体的导电类型，而且反映了半导体的掺杂水平。

半导体物理学（1）