有理数及数轴

正数和负数

定义: 我们把一种意义的量规定为正, 用大于零的数来表示, 这类数叫正数, 正数前面可以用"+"表示(通常省略不写); 把另一种与之意义相反的量规定为负, 用大于零的数前面放上符号"-"来表示(不可省略), 这样的数叫做负数.

正数和负数可以表示一对意义相反的量.

要点:

1. 它们意义要相同.

2. 它们都具有数量(大小可不等, 种类必统一).

小提示: $a \pm b = a + b 和 a - b$

有理数分类

正整数、零和负整数统称为整数, 正分数和负分数统称为分数.

整数和分数统称为有理数

(1)按定义分类

$有理数 \begin{cases} 整数 \begin{cases} 自然数 \begin{cases} 正整数\\ \\ 0\\ \end{cases}\\ \\ 负整数\\ \end{cases}\\ \\ 分数 \begin{cases} 正分数\\ \\ 负分数\\ \end{cases}\\ \end{cases}$

(2)按性质分类

$有理数 \begin{cases} 正数 \begin{cases} 正整数\\ \\ 正分数\\ \end{cases}\\ \\ 零\\ \\ 负数 \begin{cases} 负整数\\ \\ 负分数\\ \end{cases}\\ \end{cases}$

要点:

$小数 \begin{cases} 可以化成分数, 是有理数 \begin{cases} 有限小数\\ \\ 无限循环小数\\ \end{cases} \\ 不可以化成分数, 不是有理数--无限不循环小数 \end{cases}$

"四非概念":

非负数指"正数和零";

非正数指"负数和零";

非负整数指"正整数和零";

非正整数指"负整数和零".

数轴和相反数

数轴

(1)数轴: 规定了原点(0点), 单位长度(一格的长度)和正方向(一般为右)的直线叫做数轴.

注意:原点、正方向、单位长度称为数轴的三要素, 三者缺一不可.

(2)有理数与数轴的关系

一切有理数都可以用数轴上的点表示出来, 但数轴上的点不都代表有理数, 如 $\pi$ .

相反数

(1)相反数: 如果两个数只有符号不同, 那么我们称其中一个数为另一个数的相反数.

(2)性质:

1. 数轴上, 表示互为相反数(除零外)的两个点, 位于原点的两侧, 且到原点距离相等;

2. 相反数必须成对出现, 不能单独存在;

3. 零的相反数是零.

(3)多重符号化简

1. 一个数前面有偶数个"-"号, 结果为正;

2. 一个数前面有奇数个"-"号, 结果为负.

注意: 0前面无论有几个"-"号, 结果都为0.

整理归纳

$有理数 \begin{cases} 正数和负数--表示一对相反意义的量\\ \\ 有理数的分类 \begin{cases} 按定义分: 整数和分数\\ \\ 按性质分: 正数、零和负数\\ \\ 四"非"概念\\ \end{cases}\\ \\ 数轴和相反数 \begin{cases} 数轴的三要素: 原点、正方向和单位长度\\ \\ 相反数\\ \\ 多重符号的化简\\ \end{cases}\ \end{cases}$