系统的基本属性及对应例子

本文介绍了系统的无记忆性(memoryless)、因果性(causality)、稳定性(stability)、时不变(time-invariance)及线性(linearity)的基本定义,并给出了对应的例子

1 无记忆性

1.1 定义

t=t_0时刻的系统输出只与t=t_0时刻的系统输入有关,即

x(t=t_0) \rightarrow y(t=t_0)

以上\rightarrow具有唯一性

1.2 例子

  • y(t) = x^2(t):具有无记忆性
  • y(t) = \int_{-\infty}^t{x(t)dt}:当前的输入是过去所有输入的累计,不具有无记忆性
  • y[n] = x[n-1]:此为单位延时(unit delay),当前n时刻的输入只与n-1时刻的输入有关,不满足无记忆性的基本定义,不具有无记忆性

2 因果性

2.1 定义

t=t_0时刻的系统输出只与t \leqslant t_0时刻的系统输入有关,数学上的表述如下

对于因果系统A

x_1(t) \rightarrow y_1(t)

x_1(t) \rightarrow y_1(t)

如果

x_1(t) = x_2(t), t \leqslant t_0

y_1(t) = y_2(t), t \leqslant t_0

2.2 例子

  • y[n] = \frac{1}{3}\left \{ x[n-1] + x[n] + x[n+1] \right \}:此为滑动平均(moving average),可以看到n时刻的系统输入与nn-1n+1的系统输入有关,故为非因果系统

3 稳定性

3.1 定义

对于每一个有界的系统输入,其对应的系统输出也是有界的

3.2 例子

  • y(t) = \int_{-\infty}^t{x(t)dt}:此为积分器,显然不是有界的。当x(t) = 1时,随着t的增长,y(t)+\infty

4 时不变性

4.1 定义

系统输入延迟t_0时,对应的系统输出也延时t_0,即若

y(t) = T[x(t)]

y(t-t_0) = T[x(t - t_0)]

4.2 例子

  • y(t) = T[x(t)] = x(2t):可知y(t-t_0) = x(2t-2t_0),而T[x(t-t_0)] = x(2t - t_0)。则y(t-t_0) \neq T[x(t-t_0)]。故此系统为时变系统

5 线性

5.1 定义

同时满足叠加性齐次性的系统为线性系统,即

y_1(t) = T[x_1(t)]

y_2(t) = T[x_2(t)]

ay_1(t)+ by_2(t) = T[ax_1(t)+ bx_2(t)]

5.2 例子

  • y(t) = 2x(t)+2ay_1(t)+ by_2(t) = 2ax_1(t) +2bx_2(t)+2a+2b,而T[ax_1(t)+ bx_2(t)] = 2ax_1(t)+2bx_2(t) +2。则ay_1(t)+ by_2(t) \neq T[ax_1(t)+ bx_2(t)],故是非线性系统
最后编辑于
©著作权归作者所有,转载或内容合作请联系作者
平台声明:文章内容(如有图片或视频亦包括在内)由作者上传并发布,文章内容仅代表作者本人观点,简书系信息发布平台,仅提供信息存储服务。