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连分数表示

根号2可以表示为连分数的形式：√2 = 1 + \frac{1}{2 + \frac{1}{2 + \frac{1}{2 + \cdots}}}。

无穷级数表示

  • √2 = 1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{2 \cdot 4} + \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4 \cdot 6} - \frac{1 \cdot 3 \cdot 5}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 8} + \cdots = \sum_{k=0}^{∞} (-1)^k \frac{(2k-1)!!}{(2k)!!}

  • √2 = \frac{1}{2} + \frac{3}{8} + \frac{15}{64} + \frac{35}{256} + \frac{315}{4096} + \frac{693}{16384} + \cdots = \sum_{k=0}^{∞} \frac{(2k+1)!}{k!^2 2^{3k+1}}。

无穷积表示

  • √2 = \prod_{k=0}^{∞} (1 + \frac{1}{4k+1}) \cdot (1 - \frac{1}{4k+3}) = (1 + \frac{1}{1}) \cdot (1 - \frac{1}{3}) \cdot (1 + \frac{1}{5}) \cdot (1 - \frac{1}{7}) \cdot \cdots

这些级数展开提供了计算根号2的近似值的方法，通过截取级数的前几项可以得到不同精度的近似值。

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