一、定义

从n个不同的元素中，任取m（m≤n）个元素为一组，叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。

二、例题

从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加一项活动，有多少种不同的选法？
分析：
有3种：甲乙，甲丙，乙丙。

三、排列与组合的关系

组合和排列不同的地方，在于组合是顺序无关的，而排列跟顺序有关系。
比如，甲乙和乙甲是同一个组合，但甲乙和乙甲是两种不同的排列。
再比如abc是一个组合，对应的排列则有abc, acb, bac, bca, cab, cba六种。

四、公式

在推导公式之前，咱们看一个具体例子：
从a,b,c,d四个字母中取三个数，求排列数和组合数。
分析：
组合数有4个：abc, abd, acd, bcd
排列数有24个: abc, abd, acb, acd, adb, adc, bac, bad, bca, bcd, bda, bdc, cab, cad, cba, cbd, cda, cdb, dab, dac, dba, dbc, dca, dcb
列个表，将组合和排列对应起来

从上表可以看出，组合与排列的区别，就是咱们上段落中所提到的，在组合的基础上进行排序就成了排列。而排序方案数实际上就是全排列，在上表中是3! = 6种
所以，得到了公式：组合 * 排序方案数 = 排列
==> 组合 = 排列 / 排序方案数
即

C(n, m) = A(n, m) / m!  
        = n! / [m! (n - m)!]

特别地，有C(n, 0) = 1
这里，C是combination的缩写，表示组合数。n为表示全部可选的元素，m表示要选出多少个元素。

五、计算

例1

C(3, 0) = 1
C(3, 1) = A(3, 1) / 1! = 3 / 1! = 3
C(3, 2) = A(3, 2) / 2! = 3 * 2 / 2 = 3
C(3, 3) = A(3, 3) / 3! = 3 ! / 3! = 1

例2

C(4, 0) = 1
C(4, 1) = A(4, 1) / 1! = 4
C(4, 2) = A(4, 2) / 2! = 4 * 3 / 2 = 6
C(4, 3) = A(4, 3) / 3! = 4 * 3 * 2 / 3! = 4
C(4, 4) = A(4, 4) / 4! = 4! / 4! = 1

例3

C(5, 0) = 1
C(5, 1) = A(5, 1) / 1! = 5
C(5, 2) = A(5, 2) / 2! = 5 * 4 / 2! = 10
C(5, 3) = A(5, 3) / 3! = 5 * 4 * 3 / 3! = 10
C(5, 4) = A(5, 4) / 4! = 5 * 4 * 3 * 2 / 4! = 5
C(5, 5) = A(5, 5) / 5! = 5! / 5! = 1

六、两个重要的性质

（一）从上面的三个例题中，可以发现一个规律：

C(n, m) = C(n, n - m)

证明：

  C(n, n - m) 
= n! / {(n - m)! [n - (n - m)]!}
= n! / [(n-m)! m!]
= C(n, m)

（二）

C(n, m) = C(n - 1, m) + C(n - 1, m - 1)

分析：
一个班上有n个学生，现在选出m个开除，那么有两种选法：
1 不开除班长，从剩下n - 1个里开除m个
2 开除班长，再从剩下n - 1个里开除m - 1个

证明：

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