坐标变换(1)—向量和坐标系

1. 标量

在介绍向量之前，有必要介绍一下标量(scalar)，标量是一个数字，只有大小，没有方向(不过有正负)。例如温度，重量等。

2. 向量

向量(vector)是多个数字组成的列表。n个有次序的数x_1,x_2,\cdots,x_n所组成的数组列表称为n维向量。
向量可以有两种方式去描述：

  1. 空间中的一个点，而有次序的数字可以确定点在空间中的位置；
  2. 将向量描述为有大小和方向的一个量，例如一辆正在行驶的自动驾驶车辆的速度为正东方向50km/h。这时候向量就是一个从坐标原点指向终点(由有次序的数字确定)的一个矢量。

如下向量\left[\begin{array}{l} {4} & {3} \end{array}\right]^{T}，

3. 线性空间

设V为一个非空集合，R为实数域(这里只讨论实数域)。如果对于任意两个元素\alpha,\beta\in V,总有唯一的元素\gamma \in V与之对应，则称为\alpha,\beta的和，记为\gamma = \alpha+\beta。对于任意数\lambda \in R与任意元素\alpha \in V，总有唯一的一个元素\delta \in V与之对应，称为\lambda和\alpha的积，记为\delta = \lambda\alpha，并且和与积两种运算满足以下8条运算规则(设\alpha,\beta,\gamma\in V，\lambda,\mu\in R)：

  1. \boldsymbol{\alpha}+\boldsymbol{\beta}=\boldsymbol{\beta}+\boldsymbol{\alpha}；
  2. (\boldsymbol{\alpha}+\boldsymbol{\beta})+\boldsymbol{\gamma}=\boldsymbol{\alpha}+(\boldsymbol{\beta}+\boldsymbol{\gamma})；
  3. 在V中存在0元素，对任意\alpha\in V，都有，\alpha+0=\alpha；
  4. 对任意\alpha \in V，都有\alpha的负元素\beta \in V，使\boldsymbol{\alpha}+\boldsymbol{\beta}=\mathbf{0}；
  5. 1 \alpha=\alpha;
  6. \lambda(\mu \boldsymbol{a})=(\lambda \mu) \boldsymbol{a};
  7. (\lambda+\mu) \boldsymbol{\alpha}=\lambda \boldsymbol{\alpha}+\mu \boldsymbol{a};
  8. \lambda(\boldsymbol{\alpha}+\boldsymbol{\beta})=\lambda \boldsymbol{\alpha}+\lambda \boldsymbol{\beta}。

那么V称为实数域R上的线性空间(向量空间)，V中的元素称为(实)向量。线性空间中，对加法和数乘两种运算封闭。

4. 维数，基和坐标

在线性空间V中，如果存在n个元素a_1,a_2,\cdots,a_n，满足：

  1. a_1,a_2,\cdots,a_n线性无关；
  2. V中任意元素可由a_1,a_2,\cdots,a_n线性表示。

则称a_1,a_2,\cdots,a_n为线性空间V的一组基，n称为线性空间V的维数。

因为a_1,a_2,\cdots,a_n是一组基，所以线性空间V中任意的元素\alpha，总有且仅有一组有序数字x_1,x_2,\cdots,x_n，使得，

\boldsymbol{\alpha}=x_{1} \boldsymbol{\alpha}_{1}+x_{2} \boldsymbol{\alpha}_{2}+\cdots+x_{n} \boldsymbol{\alpha}_{n}

x_1,x_2,\cdots,x_n这组有序数字就称为元素\alpha在基a_1,a_2,\cdots,a_n下的坐标，记做，

\boldsymbol{\alpha}=\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)^{\mathrm{T}}

当然这个坐标也就是最开始提到的向量，而基也就是经常提到的坐标系，不同的坐标系只是对应了不同的基。

以三维线性空间为例，任何三个线性无关的向量都能构成一组基，都对应一个坐标系。同一个向量在不同的基下的坐标不同，也就是在不同的坐标系下的描述不同(但向量是同一个)。

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