时间序列预测是数据分析和机器学习中的一个重要领域，广泛应用于金融、经济、气象、能源等多个领域。统计方法基于时间序列的统计特性进行建模和预测，常用的有五类模型：ARIMA、指数平滑法、灰色预测模型GM(1,1)、季节Sarima、VAR模型。本来将介绍这五类模型的适用场景及软件应用。

一、ARIMA模型

ARIMA（自回归积分滑动平均模型）是一种经典的时间序列预测模型，广泛应用于经济、金融、气象等多个领域。它通过分析历史数据的自回归性、差分平稳性以及移动平均性，对未来的时间序列数据进行预测。

1、ARIMA模型基本原理

ARIMA模型是包括三个部分：自回归（AR）、差分（I）和移动平均（MA）。

• AR（自回归）：考虑过去若干期的观测值对当前值的影响

• I（差分）：通过差分处理使非平稳时间序列达到平稳状态

• MA（移动平均）：考虑过去的预测误差对当前值的影响

ARIMA模型适用场景：

• 适用于非平稳时间序列：ARIMA模型通过差分操作，能够处理非平稳时间序列数据，使其转化为平稳序列，从而提高预测的准确性。

• 参数灵活性：ARIMA模型通过调整自回归项（p）、差分阶数（d）和移动平均项（q）的参数，可以适应不同类型的时间序列数据。

• 预测能力较强：ARIMA模型能够考虑历史数据的影响，对未来的预测具有较高的准确性。

SPSSAU可以智能地找出最佳的AR模型，I即差分值和MA模型，并且最终自动给出最佳模型预测结果。当然，研究人员也可以自行设置自回归阶数p，差分阶数d值和移动平均阶数q，然后进行模型构建。

2、ARIMA模型核心参数

ARIMA模型表示为ARIMA(p, d, q)，有三个核心参数：自回归阶数p，差分阶数d值和移动平均阶数q，说明如下：

p，d，q值应该设置多少合适，建议研究人员分别使用偏(自)相关图进行分析（SPSSAU智能提供p值或q值建议），以及使用ADF检验分析得出合适的差分阶数d值（SPSSAU也智能提供最佳差分阶数d值建议）。

3、ARIMA模型软件操作

（1）案例

现有1993—2022年共计30年的人均GDP时间序列数据，现使用ARIMA模型进行2023年的GDP预测，部分时间序列数据如下：

（2）软件操作

将数据整理成上述格式，上传至SPSSAU平台，在【计量经济研究】模块选择【ARIMA预测】，拖拽时间序列数据至右侧分析框中，研究人员可自行选择参数pdq，若不选择，SPSSAU将智能地找到最佳模型，操作如下图：

SPSSAU输出ARIMA模型分析结果如下：

针对人均GDP(万)，结合AIC信息准则（该值越低越好），SPSSAU自动对多个潜在备选模型进行建模和对比选择，最终找出最优模型为：ARMA(2,2,2)，其模型公式为：y(t)=0.039-0.682*y(t-1)-0.232*y(t-2)-0.475*ε(t-1)-0.478*ε(t-2)。

二、指数平滑法

指数平滑法是一种经典的时间序列预测方法，特别适用于小样本数据的中短期预测。其核心思想是根据历史数据的加权平均来预测未来趋势，给予近期数据更高的权重，而远期数据的权重则呈指数级递减，因此能够更快地响应数据的变化。

1、指数平滑法类型

指数平滑法主要分为三种类型：

（1）一次指数平滑法

• 仅考虑历史数据中的水平项

• 适用于无明显趋势和季节性的时间序列

• 公式：

（2）二次指数平滑法

• 适用于具有线性趋势的数据

• 在一次平滑基础上再进行一次平滑

• 公式：

（3）三次指数平滑法

• 适用于具有曲线趋势的数据

• 在二次平滑基础上再进行一次平滑

• 公式：

如果不设置平滑方法，SPSSAU将自动运行三种平滑方法，选择最优效果时对应的平滑方法。

2、指数平滑法参数

指数平滑法中，初始值S0和平滑系数alpha是两个参数，用于确定预测模型的初始状态和对过去观察值的权重。说明如下表：

• 如果不设置初始值S0，SPSSAU自动按照样本量情况设置初始值S0；

• 如果不设置平滑系数alpha，SPSSAU自动遍历各种alpha取值情况，并且选择最优效果时对应的alpha值。

3、指数平滑法软件操作

（1）软件操作

将数据整理为时间序列格式，见上文，上传至SPSSAU平台，在【综合评价】模块选择【指数平滑】，拖拽时间序列数据至右侧分析框中，研究人员可自行选择参数，若不选择，SPSSAU将智能地找到最佳模型，操作如下图：

（2）分析结果

SPSSAU输出指数平滑法分析结果如下：

SPSSAU自动找到最佳初始值S0为4.520，alpha值为0.700，平滑类型为二次平滑，得到最佳预测效果。

三、灰色预测模型

灰色预测模型是一种基于灰色系统理论的预测方法，由邓聚龙教授于1982年提出。它适用于小样本、贫信息的系统预测，尤其在数据不完全或信息不足的情况下表现出良好的预测能力。

1、灰色预测模型基本原理

灰色预测模型可针对数量非常少（比如仅4个），数据完整性和可靠性较低的数据序列进行有效预测。但灰色预测模型一般只适用于短期预测，只适合指数增长的预测，比如人口数量，航班数量，用水量预测，工业产值预测等。

灰色预测模型有很多，GM(1,1)模型使用最为广泛，第1个数字表示进行一阶微分，第2个数字1表示只包含1个数据序列。

2、灰色预测模型步骤

在进行模型构建时，通常包括以下步骤：

• 第一步：级比值检验

此步骤目的在于数据序列是否有着适合的规律性，是否可得到满意的模型等，该步骤仅为初步检验，意义相对较小。级比值=上一期值 / 当期值。

• 第二步：后验差比检验

在进行模型构建后，会得到后验差比C值，该值为残差方差 / 数据方差；其用于衡量模型的拟合精度情况，C值越小越好，一般小于0.65即可。

• 第三步：模型拟合和预测

进行模型构建后得到模型拟合值，以及最近12期的预测值（SPSSAU默认提供最近12期预测值，可自行设置）。

• 第四步：模型残差检验

模型残差检验为事后多重比较法。主要查看相对误差值和级比偏差值。相对误差值=残差值绝对值 / 原始值。相对误差值越小越好，一般情况下小于20%即说明拟合良好。级比偏差值也用于衡量拟合情况和实际情况的偏差，一般该值小于0.2即可。

3、灰色预测模型软件操作

（1）软件操作

将数据整理为时间序列格式，见上文，上传至SPSSAU平台，在【综合评价】模块选择【灰色预测模型】，拖拽时间序列数据至右侧分析框中，点击开始分析，操作如下图：

（2）分析结果

SPSSAU输出灰色预测模型分析结果如下：

从上表可知，级比检验值均在标准范围区间[0.834, 1.199]内，意味着本数据适合进行GM(1,1)模型构建 。

从上表可知，模型构建后得到发展系数a，灰色作用量b，以及后验比C值和小误差概率p值；后验差比C值0.007<=0.35，意味着模型精度等级非常好。另外，小误差概率p值为1.000<1.0，意味着模型精度很好。

从上表可知，模型构建后可对相对误差和级比偏差值进行分析，验证模型效果情况；模型相对误差值最大值0.032<0.1，意味着模型拟合效果达到较高要求。模型级比偏差最大值0.044<0.1，意味着模型拟合效果达到较高要求。

四、季节Sarima与VAR模型

除了上面介绍的ARIMA模型、指数平滑法和灰色预测模型，还有两类方法可用于时间序列预测，分别是季节Sarima模型和VAR模型。

1、季节Sarima模型

季节Sarima模型是ARIMA模型的一种扩展，用于处理具有明显季节性变化的时间序列数据。与ARIMA模型类似，季节ARIMA模型包括自回归（AR）、差分（I）和移动平均（MA）的组合。
 

SPSSAU可以智能地找出最佳的AR模型，I即差分值和MA模型，并且最终给出最佳模型预测结果。当然，研究人员也可以自行设置参数进行手工建模。具体来说，季节ARIMA模型有以下几个参数：

2、VAR模型

在时间序列进行预测时， ARIMA可用于单一变量（比如GDP增长率）的预测，如果需要同时考虑多个变量的预测时（比如GDP增长率、失业率、储蓄率），此时可以使用VAR模型进行多变量预测。
VAR模型的构建流程较为复杂，如下图所述：