麦克斯韦速度分布到速率分布

假设：速度球形空间，各项同性，没有势能，气体分子不可区分
每个微观状态出现的概率相等（玻尔兹曼原理）

一、理解速度分布函数和速度空间

1.jpg

速率分布是
f(v)=\frac{dNv}{Ndv}
dNv: v到v+d_v内的分子个数，当d_v趋近

意义（1） 速率v附近，单位区间分子数占比（%）

意义（2） 一个分子，速率处于v附近区间的概率（概率密度）

f(v)是概率密度， f(v)*dv这个区间宽度才是 概率

\int_{v_1}^{v_2}f(v)dv是v1-v2区间分子概率的总密度，一个分子处于0到无穷大速率的总概率为1

二.推导速度\vec{v}的分布律

1.分子沿着x方向v_x的概率密度

g(v_x)=\frac{dNv_x}{Ndv_x}(v_x-v_x+dv_x)

dNv_x速度区间Vx-Vx+dVx内的分子总数
同理可得
g(v_y)=\frac{dNv_y}{Ndv_y}
g(v_z)=\frac{dNv_z}{Ndv_z}, 这个三个概率分别独立

2.速度处于\vec{v}附近的概率密度就是——速度分布函数

2.jpg

根据概率密度定义,三个方向上概率独立 相乘
F(\vec{v})=\frac{d^3N\vec{v}}{Ndv_xdv_ydv_z}

注意分母N的三次方归一化为N

3.平衡态下分子速度个方向上概率相等，各项同性就是速度模量的函数

F(\vec{v})=g(v_x)g(v_y)g(v_z)=F(v_x^2+v_y^2+v_z^2)

什么函数相乘表现为自变量v_x^2+v_y^2+v_z^2

指数函数 g(x)=c()^{x^2}
猜想g(v_x)=C\cdot e^{AV^2}
因此 F(\vec{v})=C\cdot e^{Av_x^2}\cdot C\cdot e^{Av_y^2}\cdot C\cdot e^{Av_z^2}
当v趋于无穷大速率不可能，概率g要接近0，因此A为绝对负数，定义为A=\frac{-1}{\alpha^2}
简写 F(\vec{v})=C^3\cdot e^{-v^2/\alpha^2}
有两个未知数，c和a，利用概率密度*体积元积分等于1归一化求一个出来
\int_{0}^{\infty}\frac{d^3N\vec{v}}{N}=\int_{0}^{\infty}dv_x\int_{0}^{\infty}dv_y\int_{0}^{\infty}dv_z\cdot C^3e^{-v^2/\alpha^2}=1
先对z方向积分
C^3 \int_{0}^{\infty}\int_{0}^{\infty}e^{-(v_x^2+v_y^2)/\alpha^2}dv_xdv_y\int_{0}^{\infty}e^{-v_z^2/\alpha^2}=1
根据反常积分公式\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-\beta u^2}du=\sqrt{\pi /\beta}，这里的\beta 等于\frac{1}{\alpha^2}
那么 z方向一个积分出来是 \alpha \sqrt{\pi}
三个相乘，就是 C^3\alpha^3\sqrt{\pi^3}=1
求解得到 C=\frac{1}{\alpha\sqrt{\pi}}
速度分布率 F(\vec{v})=\frac{1}{\alpha^3\sqrt{\pi^3}}\cdot e^{-v^2/\alpha^2}

那么根据速度分布率推导出速率分布率，回到这两个图

2.jpg

1.jpg

每一个速度矢量\vec{v}在速度空间上的长度就是他的模量，对应速率的大小
在速率球空间，这个矢量长度的增量 v-v+dv分布就是一个两层球套的球壳，球壳的体积就是 4\pi v^2dv
对于速率v来说，处于v-v+dv的个数dNv等于
dN_v=N\cdot F(\vec{v})\cdot 4\pi v^2 dv
回到速率分布函数f(v)的定义 f(v)=\frac{dN_v}{Ndv}=4\pi v^2\cdot F(\vec{v})，其中dv约掉，带入F(\vec{v})的表达式
得到f(v)=\frac{4}{\alpha^3\sqrt{\pi}}v^2e^{-v^2/\alpha^2}

5. 确定常数a

方均根速率 \overline{v}^2=\int_0^{\infty}v^2\cdot f(v)dv
带入是一个\frac{4}{\alpha^3\sqrt{\pi}}\int_0^{\infty}v^4e^{-v^2/\alpha^2}dv
根据高斯积分\int_0^{\infty}x^4e^{-\beta x^2}dx=\frac{3\pi}{8\beta^{5/2}}
在带入等于\overline{v}^2=\frac{4}{\alpha^3\sqrt{\pi}}\cdot \frac{3\sqrt{\pi}\cdot \alpha^5}{8}
又根据统计宏观量(1/2m_0\overline{v}^2)=\frac{3}{2}kT
求解得到\alpha^2=\frac{2kT}{m_0}
最后一个系数求解，带回表达式

F(\vec{v})=(\frac{m_0}{2\pi kT})^{3/2}e^{-\frac{m_0v^2}{2kT}}\\ f(v)=F(\vec{v})\cdot 4\pi v^2\\ f(v)=4\pi(\frac{m_0}{2\pi kT})^{3/2}v^2e^{-\frac{m_0v^2}{2kT}}

最后编辑于 ：
©著作权归作者所有,转载或内容合作请联系作者
平台声明：文章内容（如有图片或视频亦包括在内）由作者上传并发布，文章内容仅代表作者本人观点，简书系信息发布平台，仅提供信息存储服务。

推荐阅读更多精彩内容