绝对值哪去了？

在解常微分方程时，我常被 $\int 1/x\ dx=^?\ln |x|$ 困扰，因为就书本而言，什么时候有绝对值、什么时候没有绝对值，全然是不清楚的. 为了搞清最终的结果是否有绝对值，我认为：

$1.\int 1/x\ dx=\ln |x|+c$ 是必须的；2.所有绝对值写出后，再考虑是否能去除.

$e.g1.dy/dx=y(1/x-1)$

$\Box dy/y=(1/x-1)dx\Rightarrow \ln |y|=\ln(|x|e^{-x+c_0})$

$\Rightarrow y=\pm xe^{-x}e^{c_0}=cxe^{-x},c\in \mathbb R\setminus \{0\}$ ,

另注意到 $y\equiv 0$ 也是解，故 $c\in \mathbb R$ $\Box$

这里的绝对值可以去掉并添上 $“\pm”$ ，再将其并入常数部分.

$e.g2.dy/dx+y/x=a(\ln x)y^2$

$\Box 令 u=y^{-1},则du/dx=-y^{-2}dy/dx$

方程化为 $du/dx-1/(xu)=-a\ln x$

$\Rightarrow u=e^{\int 1/x\ dx}(\int -a\ln xe^{-\int 1/x\ dx}dx+c)$

$=|x|(\int -a\ln x\cdot 1/|x|dx+c)=\pm x[\pm(-a\ln ^2x)+c]=x(c_0-a\ln ^2 x)$

其中 $c_0\in \mathbb R$ . 另外 $y\equiv 0$ 是特殊的解，不能并入到通解里. $\Box$

这里是同时去绝对值后，同时取正/负的 $\pm \cdot \pm$ 可以扔去.