1. 群

群(Group)是一种集合加上一种运算的代数结构。我们把集合记作 $A$ ，运算记作 $\cdot$ ，那么群可以记作 $G = (A, ·)$ 。群要求这个运算满足以下几个条件：

封闭性: $\forall a_1, a_2 \in A, a_1\cdot a_2 \in A$ .
结合律: $\forall a_1, a_2, a_3 \in A, (a_1\cdot a_2)\cdot a_3 = a_1 \cdot (a_2 \cdot a_3)$ .
幺元: $\exists a_{0} \in A, \quad s.t. \quad \forall a \in A, \quad a_{0} \cdot a=a \cdot a_{0}=a$
逆: $\forall a \in A, \exists a^{−1} \in A, \quad s.t. \quad a · a^{−1} = a_0$ .

2. special orthogonal group

定义参考坐标系(fix frame)为 $S$ ，定义body frame为 $b$ ， $b$ 在fixed frame $S$ 下经过一定的旋转，对应的旋转矩阵为 $R$ ，

坐标系 $b$ 的三个坐标轴，即基， $\hat{x}_{b},\hat{y}_{b},\hat{z}_{b}$ ，同时 $R=[\hat{x}_{b},\hat{y}_{b},\hat{z}_{b}]$ ，满足以下条件，

单位向量
$\begin{aligned} &r_{11}^{2}+r_{21}^{2}+r_{31}^{2}=1\\ &r_{12}^{2}+r_{22}^{2}+r_{32}^{2}=1\\ &r_{13}^{2}+r_{23}^{2}+r_{33}^{2}=1 \end{aligned}$
正交
$\hat{x}_{b}\cdot\hat{y}_{b}=0,\hat{x}_{b}\cdot\hat{z}_{b}=0,\hat{z}_{b}\cdot\hat{y}_{b}=0$ ，即
$\begin{array}{l} r_{11} r_{12}+r_{21} r_{22}+r_{31} r_{32}=0 \\ r_{12} r_{13}+r_{22} r_{23}+r_{32} r_{33}=0 \\ r_{11} r_{13}+r_{21} r_{23}+r_{31} r_{33}=0 \end{array}$
上面两个性质可以写成矩阵的形势，
$RR^T=I$
此外，坐标系 $b$ 的三个坐标轴还需要遵守右手坐标系，例如 $\hat{x}_{b}\times\hat{y}_{b}=\hat{z}_{b}$ ，其中 $\times$ 表示叉乘。
在线性代数上有如下的一个公式，当我们知道一个 $3\times3$ 矩阵 $M$ 的三列为 $a,b,c$ 时，我们可以求得矩阵的行列式值为，

$\operatorname{det} M=a^{\mathrm{T}}(b \times c)=c^{\mathrm{T}}(a \times b)=b^{\mathrm{T}}(c \times a)$
所以，我们可以得到，
$det R=1$
至此，我们推导出了旋转矩阵满足的两个条件。在数学上，将满足上述两个条件的 $3\times3$ 的矩阵统称为special orthogonal group $SO(3)$ ，即3维的特殊正交群，容易验证 $R$ 符合群的封结幺逆的性质，此外对于任意的3维列向量 $x$ ， $y=Rx$ 和 $x$ 具有相同的长度(2范数)。

$\|y\|^{2}=y^{\mathrm{T}} y=(R x)^{\mathrm{T}} R x=x^{\mathrm{T}} R^{\mathrm{T}} R x=x^{\mathrm{T}} x=\|x\|^{2}$

3. 旋转矩阵的使用

描述一个坐标系
改变向量或者坐标系的参考坐标系
旋转一个坐标系或者向量

3.1 描述坐标系

在第一种情况下，旋转矩阵的三列分别对应坐标系的三个坐标轴，即基，

考虑以上三个坐标系，其对应的描述为，
$R_{a}=\left[\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right], \quad R_{b}=\left[\begin{array}{ccc} 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right], \quad R_{c}=\left[\begin{array}{ccc} 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ 1 & 0 & 0 \end{array}\right]$

而空间中的同一点 $P$ ，在三个坐标系中的描述分别为，

$p_{a}=\left[\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right], \quad p_{b}=\left[\begin{array}{c} 1 \\ -1 \\ 0 \end{array}\right], \quad p_{c}=\left[\begin{array}{c} 0 \\ -1 \\ -1 \end{array}\right]$

$R_{a}p_a=R_bp_b=R_cp_c=\left[\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right]$

3.2 改变参考坐标系

假设旋转矩阵 $R_{ab}$ ，描述了 $b$ 相对于 $a$ 的旋转， $R_{bc}$ 描述了 $c$ 相对于 $b$ 的旋转，则 $R_{ac}$ 为 $c$ 相对于 $a$ 的旋转，
$R_{ac}=R_{ab}R_{bc}$
向量 $p$ 在 $b$ 坐标系的向量为 $p_b$ ，则在 $a$ 坐标系下 $p_a$ 为，
$R_{ab}p_b=p_a$

3.3 旋转一个坐标系或者向量

在坐标系 $a$ 下旋转一个向量 $p_a$ (同一坐标系下)，会产生另外一个向量 $p\prime _a$ ，
$p\prime _a=Rp_a$

而对一个坐标系乘以一个旋转矩阵，则有不同的意义，分为左乘和右乘，下面分别介绍，其中参考坐标系为 $S$ ，body frame为 $b$ ， $S$ 绕 $Z$ 轴转90度生成 $b$ ， $R_{sb}$ 表示 $b$ 在 $S$ 下的描述，而 $R$ 仅表示某一旋转矩阵(绕着 $x$ 转30度),下面借助matlab来进行可视化，

3.3.1 左乘

R_sb = rotz(90)
R = rotx(30)
R_1 =  R * R_sb 
tranimate(R_1)

R_sb =

     0    -1     0
     1     0     0
     0     0     1
     
R =

    1.0000         0         0
         0    0.8660   -0.5000
         0    0.5000    0.8660
R_1 =

         0   -1.0000         0
    0.8660         0   -0.5000
    0.5000         0    0.8660

最终结果，

由上面两图可以看到， $R$ 左乘 $R_{sb}$ ，是顺着原来 $S$ 中的 $X$ 轴旋转了30度。因此左乘， $R$ 是在 $S$ 坐标系下的描述。

3.3.2 右乘

R_sb = rotz(90)
R = rotx(30)
R_1 =  R_sb * R 
tranimate(R_1)

R_sb =

     0    -1     0
     1     0     0
     0     0     1
R =

    1.0000         0         0
         0    0.8660   -0.5000
         0    0.5000    0.8660
R_1 =

         0   -0.8660    0.5000
    1.0000         0         0
         0    0.5000    0.8660

最终结果，

由上面两图可以看到， $R$ 右乘 $R_{sb}$ ，是顺着 $b$ 中的 $X$ 轴旋转了30度。右乘， $R$ 是在 $b$ 坐标系下描述。
其实关于左乘和右乘，在前面的文章中介绍过旋转矩阵的列向量是 $b$ 在 $S$ 中的描述，右乘相当于，
$\begin{bmatrix} \hat{x}_{b},\hat{y}_{b},\hat{z}_{b} \end{bmatrix}R=\begin{bmatrix} r_{11}\hat{x}_{b}+r_{21}\hat{y}_{b}+r_{31}\hat{z}_{b},r_{12}\hat{x}_{b}+r_{22}\hat{y}_{b}+r_{32}\hat{z}_{b},r_{13}\hat{x}_{b}+r_{23}\hat{y}_{b}+r_{33}\hat{z}_{b} \end{bmatrix}$
此时，矩阵的乘积的每一列都是 $b$ 所对应基的线性组合，所以 $R$ 此时的意义肯定是在 $b$ 坐标系下描述。
同理，前面文章提到过，旋转矩阵的行向量是 $\{S\}$ 在 $\{b\}$ 中的描述，此时 $\{b\}$ 是参考坐标系，
$R\begin{bmatrix} \hat{x}_{s} \\ \hat{y}_{s} \\ \hat{z}_{s} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} r_{11}\hat{x}_{s}+r_{12}\hat{y}_{s}+r_{13}\hat{z}_{s}\\ r_{21}\hat{x}_{s}+r_{22}\hat{y}_{s}+r_{23}\hat{z}_{s}\\ r_{31}\hat{x}_{s}+r_{32}\hat{y}_{s}+r_{33}\hat{z}_{s} \end{bmatrix}$
此时，矩阵的乘积的每一行都是 $S$ 所对应基的线性组合，所以 $R$ 此时的意义肯定是在 $S$ 坐标系下描述。