一、什么是证明

命题：能够判断真假的语句

谓词：真假取决于变量的命题。

逻辑推理 P，P IMP Q则Q

常用的证明方法：逆反命题，IFF，案例证明法（分情况讨论），反证法

习题的很多题目都可以以反证法证有理数=m/n(不可再约分数)求解

二、良序原理

良序原理：非负整数集中的每个非空子集都有一个最小元素

证明模板都挺套路的，不再赘述。

三、逻辑公式

数学蕴含：

implies，可以理解为善意推理，

p implies q

q为真则真，p为假则真。

真值表：判断命题的是否等价的重要工具。

命题范式：

我认为转换成上述的命题范式的作用是命题的真假更加直观，同时判断命题是否等价

量词（变量的取值范围）

全称量词，存在量词。

量词的顺序会导致意思的改变

否定量词，同德摩根定律一致，两边取反。

练习

波纹进位加法器：将低位的进位作为高位的输出，进位信号依次向前传递。就像激起波纹一样。

如何从命题公式的析取形式直接得到合取形式？    

个人想法（未考证）：对命题公式两次取反，然后再对内层用德摩根定律。

四、数学数据类型

1.集合

集合就是一堆对象，这些对象成为集合中的元素。

定义：可用枚举法或者描述法（使用谓词为真的所有取值构成一个集合

特点：无序，不重复（重复没有意义）

集合的比较组合：子集，真子集，并集，交集，差集，补集

幂集：某个集合的所有子集构成的集合

注意：命题操作和集合操作是相互对应，但有不同的表示方法

2.序列

类似于集合，区别：序列有序，可重复。

长度为2的序列称为对

3.函数

“结果”集合将元素赋值给“参数”集合

全函数，偏函数：参数集合的中的每个元素是否都有定义函数值

复合函数 先求解函数1，把值代到函数2……

4.二元关系

两个对象之间的关系、域（自己）和陪域

两个集合中的各个对象的映射数量关系构成了

函数：对应的像<=1（对域中的一个对象，下面同理）

满射: 对应的逆像>=1（对陪域）  surj

全映射:对应的像>=1(域）    

单射：对应的逆像<=1

双射：一一对应  bij

像：某一个对象对应的对象的集合，逆像同理

5.有限基数

如果A是有限集合，|A|代表A中元素的个数