阿贝尔积分与阿贝尔函数
黎曼在《数学杂志》上发了四篇研究阿贝尔积分和阿贝尔函数的重要论文，都很艰深，幸好后来有一批数学家解读这些文章。黎曼结合了阿贝尔和雅可比的工作（实函数），并用了魏尔斯特拉斯的处理方法（虚函数）。
黎曼澄清了多值函数的概念，对阿贝尔积分有了进一步了解。他将阿贝尔积分分类如下：在由方程f(w,z)=0确定的黎曼面上的积分中，处处有穷的称为第一类积分（虽然在未剖割的曲面上是多值函数）。积分个数等于曲面的亏格p，如果连通数是2p+1，引入2p个横剖线，则每个积分对横剖线所围区域的路径来说是单值函数，如果路径穿过横剖线，需要考虑周期模：
,W是积分从一个固定点积到z的值，mr是整数，wr是积分的周期模。
第二类积分具有代数无穷，但没有对数无穷。第二类的基本积分在黎曼面的一点处有一个一阶的无穷，如果E(z)是积分在曲面一点处的值（积分的上限），那么所有积分值都包含在中，nr是整数，εr是周期模。在黎曼面同一点处变为无穷的两个基本积分，它们的差是一个第一类积分，因此有p+1个线性无关的第二类基本积分，在黎曼面同一点处变为无穷。
第三类积分具有对数无穷。每个积分必有两个对数无穷。如果第三类积分没有代数无穷，即它在有对数无穷的任一点附近，积分的展开式没有代数项，则称为第三类基本积分，线性无关的数量为p+1个，它们的对数无穷都在黎曼面的两个点上。每个阿贝尔积分是这三类积分的一个和。
阿贝尔积分的研究揭示了黎曼面上能够存在哪些类型的函数。黎曼研究了两类函数：第一类是曲面上的单值函数，它的奇点是极点；第二类在具有横剖线的曲面上是单值的，但沿横剖线函数不连续。这种函数在第v个横剖线两边的值相差一个复常数，第二类函数也可以有极点和对数无穷。黎曼证明，第一类函数是代数函数，而第二类函数是代数函数的积分。在曲面上处处有穷的函数可以用第一类函数表示，也可以将第二类、第三类积分结合起来构造曲面上的代数函数。黎曼证明了代数函数可以用超越函数的和表示。同理，在若干个给定点上为代数无穷的单值函数可以用有理函数表示，在整个曲面上单值函数是一个处处有穷积分的被积函数，这个函数可以表示为R(w,z)，可以有形式
，曲面方程是f(w,z)=0。构造函数Φ称为f(w,z)=0的伴随多项式，一般f次数为n时，Φ的次数是n-3。
1860年魏尔斯特拉斯也研究了阿贝尔积分，不过他和黎曼的后继者是用代数函数建立超越函数，与黎曼的做法相反，之所以如此是因为他们不相信狄利克雷原理。1870年魏尔斯特拉斯在论文中指出还未证明存在极小化狄利克雷积分的函数。在魏尔斯特拉斯指出之前，黎曼已认识到这点，但他认为狄利克雷原理只是一个碰巧的趁手工具，而函数u的存在是确定的。亥姆霍兹称对物理学家来说，狄利克雷原理的应用仍然是一个证明。
黎曼发起的复函数理论中的另一个新研究是阿贝尔积分的反演，即时把z确定为u的函数，函数不仅是多值的，而且不能清楚地定义。类似超椭圆积分，黎曼取p个阿贝尔积分的和，并定义新的p个变量的阿贝尔函数，它们是单值的且重周期为2p，意思是存在2p组量
，每组包含这p个变量的每个变量的一个周期。黎曼证明，一个单值函数不可能有多于2p组的同时周期。阿贝尔函数表示成p个变量的θ函数，是椭圆函数的推广。
黎曼-罗赫定理是由黎曼开始，罗赫（1839-1866）完成的一项工作，这个定理确定了在至多有有穷个极点的曲面上线性无关的亚纯函数的个数。假设w是曲面上的单值函数，在点c1,...,cm处有一阶极点，但在别处没有，这些ci的位置不一定相互独立。如果q个线性无关函数（伴随函数）在这些点上为零，那么w含有m-p+q+1个任意常数。它是m-p+q个函数的任意倍数的线性组合，这m-p+q个函数都有p-q+1个一阶极点，其中p-q个是线性组合中所有函数共有的。
