使用 4 个 π 计算任意整数 n

今天是 $\pi$ 日，MindYourDecisions 频道发了一个有趣的题目，怎么利用图片里计算器上的数学运算使用 $4$ 个 $π$ 计算出任意整数 $n$ 。YouTube 链接为：Make Any Number From Four π's!

怎么用4个pi算n

我是想不到怎么算啦，看了视频后感觉很有意思。

使用的技巧来自：Any Integer with Three 2s ，这里的问题是怎么用 $3$ 个 $2$ 算出任意正整数 $n$ 。这里给出的解答是：
$n = -\log_2\log_2 \underbrace{\sqrt{\sqrt{\dots \sqrt{2}}}}_{n \, 个根号}$

真是令人称奇啊，这个式子的正确性是不难验证的， $2$ 被套上 $n$ 次算术平方根运算是 $2^{1/2^n}$ ，对 $2$ 取对数是 $1/2^n$ ，再对 $2$ 取一次对数是 $-n$ ，加上负号就是 $n$ 啦。

回到 $4$ 个 $π$ 的问题，同样套上 $n$ 个根号再对 $\pi$ 取对数就也变成了 $1/2^n$ ，接下来还要对 $2$ 取一次对数才能变成 $-n$ ， $2$ 去哪找呢，想到 $\cos{\pi} = -1$ 那就迎刃而解啦，来个 $-\cos{\pi}-\cos{\pi}=2$ 刚好用掉 $4$ 个 $\pi$ 。

所以最后给出的公式是：

4个pi算n_答案

真是秒啊！

关于此问题的一些更多讨论可见：Four π's to make any integer 。